Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
c)
tal que
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear. Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos verificar essas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
transforma o vetor zero em zero. Em outras palavras, precisamos ver se
.
Calculando:
Isso confirma que a função preserva o vetor zero, que é uma das condições para ser uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade de aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores
e
, a função deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados da equação.
Primeiro, a soma dos vetores:
Aplicando
na soma:
Simplificando:
Agora, calculando
:
Somando:
Como vemos,
, então a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar
e vetor
, a função deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados.
Primeiro, multiplicando o vetor por
:
Aplicando
em
:
Agora, calculando
:
Como vemos,
, então a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é uma transformação linear.