Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
c) f: R^3 R^3 tal que f(x, y, z)=(x-y, x+y, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a função definida por é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear. Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos verificar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f(0, 0, 0) = (0 - 0, 0 + 0, 0) = (0, 0, 0) transforma o vetor zero em zero. Em outras palavras, precisamos ver se .
Calculando:
Isso confirma que a função preserva o vetor zero, que é uma das condições para ser uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade de aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores f(u + v) = f(u) + f(v) e u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) , a função deve satisfazer:
f(u + v) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), (x1 + x2) + (y1 + y2), 0)
Vamos calcular ambos os lados da equação.
Primeiro, a soma dos vetores:
f(u + v) = (x1 - y1 + x2 - y2, x1 + y1 + x2 + y2, 0)
Aplicando f(u) = (x1 - y1, x1 + y1, 0) na soma:
f(v) = (x2 - y2, x2 + y2, 0)
Simplificando:
f(u) + f(v) = (x1 - y1 + x2 - y2, x1 + y1 + x2 + y2, 0)
Agora, calculando :
Somando:
Como vemos, , então a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar f(a u) = a f(u) e vetor a u = (a x, a y, a z) , a função deve satisfazer:
f(a u) = (a x - a y, a x + a y, 0) = a (x - y, x + y, 0)
Vamos calcular ambos os lados.
Primeiro, multiplicando o vetor por a f(u) = a (x - y, x + y, 0) = (a x - a y, a x + a y, 0) :
Aplicando em :
Agora, calculando :
Como vemos, , então a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear.

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