Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
d) f: R^2 R^3 tal que f(x, y, z)=(2 x-y+z, 0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se uma função específica é uma transformação linear. Aqui, estamos lidando com transformações lineares, que são funções que respeitam certas propriedades matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como verificar se a função dada atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação é linear se, para qualquer vetor e em e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada:
f(x, y, z) = (2x - y + z, , 0, , 0)
Primeiro, notamos que a função mapeia de para (mesmo que no enunciado esteja escrito , parece haver um erro, já que temos três variáveis de entrada).

Passo 4

Vamos verificar se f(x1 + x2, , y1 + y2, , z1 + z2) = (2(x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2), , 0, , 0) satisfaz as duas propriedades de linearidade.
1. Verificando a adição:
Seja = (2x1 + 2x2 - y1 - y2 + z1 + z2, , 0, , 0) e f(x1, y1, z1) + f(x2, y2, z2) = (2x1 - y1 + z1, , 0, , 0) + (2x2 - y2 + z2, , 0, , 0) .
Calculando = (2x1 - y1 + z1 + 2x2 - y2 + z2, , 0 + 0, , 0 + 0) :
= (2x1 + 2x2 - y1 - y2 + z1 + z2, , 0, , 0)
Agora, calculando :
Vemos que , então a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 5

2. Verificando a multiplicação por escalar:
Seja f(cx, cy, cz) = (2(cx) - (cy) + (cz), , 0, , 0) um escalar e = (2c x - c y + c z, , 0, , 0) .
Calculando = c(2x - y + z, , 0, , 0) :
= c f(u)
Então, , e a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como a função cumpre as duas propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar), ela é uma transformação linear.

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