Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
d)
tal que
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se uma função específica é uma transformação linear. Aqui, estamos lidando com transformações lineares, que são funções que respeitam certas propriedades matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como verificar se a função dada atende a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação
é linear se, para qualquer vetor
e
em
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
Primeiro, notamos que a função mapeia de
para
(mesmo que no enunciado esteja escrito
, parece haver um erro, já que temos três variáveis de entrada).
Passo 4
Vamos verificar se
satisfaz as duas propriedades de linearidade.
1. Verificando a adição:
Seja
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Vemos que
, então a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 5
2. Verificando a multiplicação por escalar:
Seja
um escalar e
.
Calculando
:
Então,
, e a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como a função
cumpre as duas propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar), ela é uma transformação linear.