Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+z, 2 x-y+z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a função definida por é uma transformação linear. Vamos usar conceitos de Álgebra Linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se a função atende a essas duas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos testar a aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (z1 + z2), 2(x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2)) e = (x1 + x2 + z1 + z2, 2x1 + 2x2 - y1 - y2 + z1 + z2) . Então:
T(u) = (x1 + z1, 2x1 - y1 + z1)
Simplificando:
T(v) = (x2 + z2, 2x2 - y2 + z2)
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) = (x1 + z1 + x2 + z2, 2x1 - y1 + z1 + 2x2 - y2 + z2) :
= (x1 + x2 + z1 + z2, 2x1 + 2x2 - y1 - y2 + z1 + z2)
Vemos que . Então, a função satisfaz a aditividade.

Passo 4

Agora, vamos testar a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx + cz, 2(cx) - cy + cz) um escalar e = c(x + z, 2x - y + z) . Então:
= cT(u)
Portanto, , o que mostra que a função satisfaz a homogeneidade.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

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© T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(2 x, x-y, y).