Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a)
definida por
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a função
definida por
é uma transformação linear. Vamos usar conceitos de Álgebra Linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se a função
atende a essas duas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos testar a aditividade. Seja
e
. Então:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Vemos que
. Então, a função satisfaz a aditividade.
Passo 4
Agora, vamos testar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Portanto,
, o que mostra que a função satisfaz a homogeneidade.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
(a) Encontre um sistema de duas equaçōes lineares nas variáveis
e
cujo conjunto solução seja dado pelas equaçōes paramétricas
e
.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) definida por
.
(b)
Os seguintes subconjuntos são subespaços do espaço vetorial
? Justifique.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© definida por
.
©