Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
e)
tal que
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se uma função específica é uma transformação linear. Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que respeitam certas regras da matemática linear. Para resolver isso, vamos lembrar quais são essas regras e ver se a função dada as segue.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada. A função
vai de
para
e é definida por:
Isso significa que, para qualquer entrada
, a saída será um vetor onde todas as componentes são iguais a
.
Passo 3
Agora, para verificar se
é uma transformação linear, precisamos checar duas coisas:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Essas duas propriedades garantem que a função preserve a estrutura linear dos vetores.
Passo 4
Vamos começar com a adição vetorial. Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a propriedade da adição vetorial é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um número real e
. Então:
E:
Mais uma vez, os dois resultados são iguais, então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a adição vetorial quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que ela é uma transformação linear.