Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
e) f: R^2 R^3 tal que f(x, y, z)=(x, x, x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se uma função específica é uma transformação linear. Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que respeitam certas regras da matemática linear. Para resolver isso, vamos lembrar quais são essas regras e ver se a função dada as segue.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada. A função f(x, y, z) = (x, x, x) vai de para e é definida por:
Isso significa que, para qualquer entrada , a saída será um vetor onde todas as componentes são iguais a .

Passo 3

Agora, para verificar se é uma transformação linear, precisamos checar duas coisas:
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
    Essas duas propriedades garantem que a função preserve a estrutura linear dos vetores.

Passo 4

Vamos começar com a adição vetorial. Seja f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, x1 + x2, x1 + x2) e f(u) + f(v) = (x1, x1, x1) + (x2, x2, x2) = (x1 + x2, x1 + x2, x1 + x2) . Então:
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a propriedade da adição vetorial é satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja f(cu) = f(cx, cy, cz) = (cx, cx, cx) um número real e c f(u) = c(x, x, x) = (cx, cx, cx) . Então:
E:
Mais uma vez, os dois resultados são iguais, então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a adição vetorial quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que ela é uma transformação linear.

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