Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) definida por .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa satisfazer.
Passo 2
Uma transformação é linear se satisfaz duas condições principais:
Adição: para quaisquer vetores e .
Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Além disso, uma transformação linear sempre envia o vetor zero para o vetor zero, ou seja, .
Passo 3
Vamos verificar se atende a essas condições.
Primeiro, observamos que na primeira componente da função , temos termos quadráticos e de produto e . Transformações lineares devem ser combinações lineares dos componentes de entrada, ou seja, termos de primeiro grau sem multiplicação entre as variáveis.
Por exemplo, uma transformação linear teria a forma:
onde são constantes.
No caso de , devido aos termos e , a função não é uma combinação linear das variáveis e .
Além disso, podemos testar substituindo vetores específicos. Por exemplo, se considerarmos e :