Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(2 x^2+x y, x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa satisfazer.

Passo 2

Uma transformação é linear se satisfaz duas condições principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Além disso, uma transformação linear sempre envia o vetor zero para o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se T(x, y) = (a x + b y, c x + d y) atende a essas condições.
Primeiro, observamos que na primeira componente da função T(u + v) = T(1, 1) = (2(1)^2 + 1 cdot 1, 1) = (3, 1) , temos termos quadráticos e de produto T(u) + T(v) = T(1, 0) + T(0, 1) = (2(1)^2 + 1 cdot 0, 1) + (2(0)^2 + 0 cdot 1, 0) = (2, 1) + (0, 0) = (2, 1) e . Transformações lineares devem ser combinações lineares dos componentes de entrada, ou seja, termos de primeiro grau sem multiplicação entre as variáveis.
Por exemplo, uma transformação linear teria a forma:
onde são constantes.
No caso de , devido aos termos e , a função não é uma combinação linear das variáveis e .
Além disso, podemos testar substituindo vetores específicos. Por exemplo, se considerarmos e :
Enquanto:
Como , a condição de adição não é satisfeita.

Resposta

A função não é uma transformação linear.

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