Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b)
definida por
.
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa satisfazer.
Passo 2
Uma transformação
é linear se satisfaz duas condições principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Além disso, uma transformação linear sempre envia o vetor zero para o vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se
atende a essas condições.
Primeiro, observamos que na primeira componente da função
, temos termos quadráticos e de produto
e
. Transformações lineares devem ser combinações lineares dos componentes de entrada, ou seja, termos de primeiro grau sem multiplicação entre as variáveis.
Por exemplo, uma transformação linear teria a forma:
onde
são constantes.
No caso de
, devido aos termos
e
, a função não é uma combinação linear das variáveis
e
.
Além disso, podemos testar substituindo vetores específicos. Por exemplo, se considerarmos
e
:
Enquanto:
Como
, a condição de adição não é satisfeita.
Resposta
A função
não é uma transformação linear.