Uma matriz quadrada
é dita triangular superior se
, quando
. Dizemos que
é triangular inferior se
, quando
. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos
, isto é,
. (k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: estamos falando sobre diferentes tipos de matrizes quadradas, especificamente matrizes triangulares superiores, triangulares inferiores e matrizes diagonais. O objetivo é verificar se toda matriz diagonal é, ao mesmo tempo, triangular inferior e triangular superior. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições dessas classes de matrizes e verificar se uma matriz diagonal satisfaz ambos os critérios de triangularidade.
Passo 2
Primeiramente, vamos relembrar as definições:
-
Matriz Triangular Superior: Uma matriz quadrada
é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero, ou seja, quando . -
Matriz Triangular Inferior: Uma matriz quadrada
é dita triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal são zero, ou seja, quando . -
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada
é dita diagonal se todos os elementos, exceto os da diagonal principal, são zero. Formalmente, para todo .
Passo 3
Agora, vamos analisar se uma matriz diagonal também é uma matriz triangular superior e triangular inferior.
-
Triangular Superior: Em uma matriz diagonal, todos os elementos abaixo da diagonal principal (
) são zero. Isso satisfaz a condição para ser uma matriz triangular superior. -
Triangular Inferior: Da mesma forma, em uma matriz diagonal, todos os elementos acima da diagonal principal (
) são zero, o que satisfaz a condição para ser uma matriz triangular inferior.
Resposta
Sim, toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.