Uma matriz quadrada A=(ai j)n times n é dita triangular superior se ai j=0, quando i>j. Dizemos que A é triangular inferior se ai j=0, quando i. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos ai i, isto é, i=j. (k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: estamos falando sobre diferentes tipos de matrizes quadradas, especificamente matrizes triangulares superiores, triangulares inferiores e matrizes diagonais. O objetivo é verificar se toda matriz diagonal é, ao mesmo tempo, triangular inferior e triangular superior. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições dessas classes de matrizes e verificar se uma matriz diagonal satisfaz ambos os critérios de triangularidade.

Passo 2

Primeiramente, vamos relembrar as definições:
  • Matriz Triangular Superior: Uma matriz quadrada é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero, ou seja, quando .
  • Matriz Triangular Inferior: Uma matriz quadrada é dita triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal são zero, ou seja, quando .
  • Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos, exceto os da diagonal principal, são zero. Formalmente, para todo .

Passo 3

Agora, vamos analisar se uma matriz diagonal também é uma matriz triangular superior e triangular inferior.
  1. Triangular Superior: Em uma matriz diagonal, todos os elementos abaixo da diagonal principal ( ) são zero. Isso satisfaz a condição para ser uma matriz triangular superior.
  2. Triangular Inferior: Da mesma forma, em uma matriz diagonal, todos os elementos acima da diagonal principal ( ) são zero, o que satisfaz a condição para ser uma matriz triangular inferior.

Resposta

Sim, toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.

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