(a) Encontre um sistema de duas equaçōes lineares nas variáveis
e
cujo conjunto solução seja dado pelas equaçōes paramétricas
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar um sistema de duas equações lineares com as variáveis
e
de modo que todas as soluções desse sistema sejam aquelas dadas pelas equações paramétricas
e
. Para resolver isso, vamos trabalhar com sistemas de equações lineares e relacionar as equações paramétricas com equações lineares clássicas.
Passo 2
As equações paramétricas nos dão
e
em função de um parâmetro
. Especificamente, temos:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
para obter uma relação direta entre
e
.
Passo 3
A partir da primeira equação
, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação para relacionar
diretamente com
:
Assim, temos a primeira equação linear:
Passo 4
Para formar um sistema de duas equações lineares, precisamos de outra equação que seja linear e que seja compatível com a primeira. Uma maneira simples de fazer isso é multiplicar a primeira equação por um número que mantenha a relação. Por exemplo, multiplicando ambos os lados da equação
por 2:
Rearranjando os termos, obtemos:
Essa é a segunda equação linear do sistema.
Passo 5
Agora, temos nosso sistema de duas equações lineares:
Todas as soluções deste sistema serão exatamente aquelas dadas pelas equações paramétricas
e
.
Resposta
Um sistema de duas equações lineares cujas soluções são dadas por
e
é:
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) definida por
.
(b)
Uma matriz quadrada
é dita triangular superior se
, quando
. Dizemos que
é triangular inferior se
, quando
. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos
, isto é,
. (k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por
.
(a)
Os seguintes subconjuntos são subespaços do espaço vetorial
? Justifique.