(a) Encontre um sistema de duas equaçōes lineares nas variáveis x e y cujo conjunto solução seja dado pelas equaçōes paramétricas x=t e y=3-2 t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar um sistema de duas equações lineares com as variáveis e de modo que todas as soluções desse sistema sejam aquelas dadas pelas equações paramétricas e . Para resolver isso, vamos trabalhar com sistemas de equações lineares e relacionar as equações paramétricas com equações lineares clássicas.

Passo 2

As equações paramétricas nos dão x = t e y = 3 - 2t em função de um parâmetro . Especificamente, temos:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para obter uma relação direta entre e .

Passo 3

A partir da primeira equação t = x , podemos expressar y = 3 - 2t = 3 - 2x em termos de y = 3 - 2x :
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação para relacionar diretamente com :
Assim, temos a primeira equação linear:

Passo 4

Para formar um sistema de duas equações lineares, precisamos de outra equação que seja linear e que seja compatível com a primeira. Uma maneira simples de fazer isso é multiplicar a primeira equação por um número que mantenha a relação. Por exemplo, multiplicando ambos os lados da equação 2y = 6 - 4x por 2:
4x + 2y = 6
Rearranjando os termos, obtemos:
Essa é a segunda equação linear do sistema.

Passo 5

Agora, temos nosso sistema de duas equações lineares:
y = 3 - 2x 4x + 2y = 6
Todas as soluções deste sistema serão exatamente aquelas dadas pelas equações paramétricas e .

Resposta

Um sistema de duas equações lineares cujas soluções são dadas por y = 3 - 2x 4x + 2y = 6 e é:

Exercícios relacionados

Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(2 x^2+x y, x).
Uma matriz quadrada A=(ai j)n times n é dita triangular superior se ai j=0, quando i>j. Dizemos que A é triangular inferior se ai j=0, quando i. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos ai i, isto é, i=j. (k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+z, 2 x-y+z).
Os seguintes subconjuntos são subespaços do espaço vetorial R^3 ? Justifique.
W=(x, y, z) in R^3 mid x=1