Sejam u=(2,1,-3) e v=(1,-2,1).
a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular à u e v
b) Determine um vetor w perpendicular à u e v e tal que || w||=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional:
u = (2, 1, -3) e v = (1, -2, 1)
Nosso objetivo é encontrar vetores que sejam perpendiculares a ambos, ou seja, que formem um ângulo de 90 graus com cada um deles. Para isso, vamos usar o produto vetorial, que nos dá exatamente um vetor perpendicular a dois vetores dados. Além disso, vamos precisar saber como normalizar um vetor, ou seja, transformar um vetor qualquer em um vetor unitário (com comprimento 1).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 ) . A fórmula do produto vetorial para vetores u times v = (1 cdot 1 - (-3) cdot (-2), (-3) cdot 1 - 2 cdot 1, 2 cdot (-2) - 1 cdot 1 ) e u times v = (1 - 6, -3 - 2, -4 - 1 ) = (-5, -5, -5) é:
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora temos um vetor perpendicular aos dois vetores originais:
w = (-5, -5, -5)
Mas para a parte a) do exercício, queremos um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar ||w|| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 .
A norma (ou comprimento) de um vetor ||w|| = raiz(-5)^2 + (-5)^2 + (-5)^2 = raiz25 + 25 + 25 = raiz75 = 5raiz3 é dada por:
Vamos calcular a norma de :

Passo 4

Para normalizar uunit = w||w|| = (-5, -5, -5)5raiz3 = ( -55raiz3, -55raiz3, -55raiz3 ) = ( -1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) , dividimos cada componente pelo comprimento do vetor:

Passo 5

Agora, simplificando as frações, ficamos com:
uunit = ( -1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 )
Esse é o vetor unitário perpendicular a e .

Passo 6

Para a parte b), queremos um vetor uunit = ( -1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) perpendicular a w = 5 cdot uunit = 5 ( -1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) = ( -5raiz3, -5raiz3, -5raiz3 ) e com norma igual a 5. Já sabemos que é perpendicular, mas sua norma é . Para ajustarmos para uma norma de 5, vamos normalizar e depois multiplicar pelo tamanho desejado.
Já normalizamos no passo anterior:
Multiplicando esse vetor unitário por 5:

Resposta

a) Um vetor unitário perpendicular a e é
b) Um vetor perpendicular a e com norma 5 é

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