e .
a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular à e
b) Determine um vetor perpendicular à e e tal que ||

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional:
Nosso objetivo é encontrar vetores que sejam perpendiculares a ambos, ou seja, que formem um ângulo de 90 graus com cada um deles. Para isso, vamos usar o produto vetorial, que nos dá exatamente um vetor perpendicular a dois vetores dados. Além disso, vamos precisar saber como normalizar um vetor, ou seja, transformar um vetor qualquer em um vetor unitário (com comprimento 1).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula do produto vetorial para vetores e é:
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora temos um vetor perpendicular aos dois vetores originais:
Mas para a parte a) do exercício, queremos um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar .
A norma (ou comprimento) de um vetor é dada por:
Vamos calcular a norma de :

Passo 4

Para normalizar , dividimos cada componente pelo comprimento do vetor:

Passo 5

Agora, simplificando as frações, ficamos com:
Esse é o vetor unitário perpendicular a e .

Passo 6

Para a parte b), queremos um vetor perpendicular a e com norma igual a 5. Já sabemos que é perpendicular, mas sua norma é . Para ajustarmos para uma norma de 5, vamos normalizar e depois multiplicar pelo tamanho desejado.
Já normalizamos no passo anterior:
Multiplicando esse vetor unitário por 5:

Resposta

a) Um vetor unitário perpendicular a e é
b) Um vetor perpendicular a e com norma 5 é

Exercícios relacionados

Nos Exercícios 1-2, confirme por multiplicação que é um autovetor de e encontre o autovalor correspondente.
Determine quais das seguintes funções são transformações linęares: definida por .
Seja um vetor do perpendicular aos vetores e . Sabendo que e formam um ângulo de e que e || , calcule .
Escreva o vetor como combinação linear dos seguintes conjuntos de vetores em :
b)