e
.
a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular à
e
b) Determine um vetor
perpendicular à
e
e tal que ||
a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular à
b) Determine um vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional:
Nosso objetivo é encontrar vetores que sejam perpendiculares a ambos, ou seja, que formem um ângulo de 90 graus com cada um deles. Para isso, vamos usar o produto vetorial, que nos dá exatamente um vetor perpendicular a dois vetores dados. Além disso, vamos precisar saber como normalizar um vetor, ou seja, transformar um vetor qualquer em um vetor unitário (com comprimento 1).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
. A fórmula do produto vetorial para vetores
e
é:
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora temos um vetor perpendicular aos dois vetores originais:
Mas para a parte a) do exercício, queremos um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar
.
A norma (ou comprimento) de um vetor
é dada por:
Vamos calcular a norma de
:
Passo 4
Para normalizar
, dividimos cada componente pelo comprimento do vetor:
Passo 5
Agora, simplificando as frações, ficamos com:
Esse é o vetor unitário perpendicular a
e
.
Passo 6
Para a parte b), queremos um vetor
perpendicular a
e
com norma igual a 5. Já sabemos que
é perpendicular, mas sua norma é
. Para ajustarmos para uma norma de 5, vamos normalizar
e depois multiplicar pelo tamanho desejado.
Já normalizamos
no passo anterior:
Multiplicando esse vetor unitário por 5:
Resposta
a) Um vetor unitário perpendicular a
e
é
b) Um vetor
perpendicular a
e
com norma 5 é