Determine a transformação linear T: R^2 R^3 que satisfaz:
T(-1,1)=(1,2,0) e (0,2) in Ker(T)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de transformação linear, que faz parte da Álgebra Linear. A transformação está mapeando vetores do para . Nosso objetivo é descobrir qual é essa transformação linear que satisfaz duas condições específicas:
  1. Quando aplicamos ao vetor , o resultado é .
  2. O vetor está no núcleo de (ou seja, ).
Para resolver isso, vamos construir a matriz que representa a transformação e usar essas informações para encontrar os coeficientes da matriz.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear A = a & b c & d e & f pode ser representada por uma matriz x y de dimensão T( x y ) = A x y = a x + b y c x + d y e x + f y . Vamos chamar os elementos dessa matriz de da seguinte forma:
Então, para qualquer vetor em , a transformação é dada por:

Passo 3

Agora, vamos usar a primeira condição: a & b c & d e & f -1 1 = - a + b - c + d - e + f = 1 2 0 . Aplicando a matriz - a + b = 1 - c + d = 2 - e + f = 0 a :

[


=

]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, a segunda condição é que o vetor a & b c & d e & f 0 2 = 0 cdot a + 2 cdot b 0 cdot c + 2 cdot d 0 cdot e + 2 cdot f = 2b 2d 2f = 0 0 0 está no núcleo de 2b = 0 2d = 0 2f = 0 , ou seja, . Aplicando a matriz a :

[


]
Isso nos dá mais três equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeiro, das últimas equações:
2b = 0 Rightarrow b = 0 2d = 0 Rightarrow d = 0 2f = 0 Rightarrow f = 0
Agora, substituindo - a + 0 = 1 Rightarrow - a = 1 Rightarrow a = -1 na primeira equação do Passo 3:
- c + 0 = 2 Rightarrow - c = 2 Rightarrow c = -2
Em seguida, substituindo - e + 0 = 0 Rightarrow - e = 0 Rightarrow e = 0 na segunda equação do Passo 3:
E finalmente, substituindo na terceira equação do Passo 3:

Passo 6

Agora que encontramos todos os coeficientes, podemos montar a matriz A = a & b c & d e & f = -1 & 0 -2 & 0 0 & 0 :

[
A = T( x y ) = -1 cdot x + 0 cdot y -2 cdot x + 0 cdot y 0 cdot x + 0 cdot y = - x -2x 0


]
Portanto, a transformação linear é dada por:

[
T\left( \right) =


]

Resposta

A transformação linear T( x y ) = - x -2x 0 que satisfaz as condições dadas é:

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