Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir se a função
é uma transformação linear. A função
pega uma matriz
e transforma em um vetor no espaço
. Para resolver isso, vamos lembrar o que define uma transformação linear e ver se
segue essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição:
para quaisquer matrizes e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e matriz .
Vamos verificar essas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Primeiro, vamos testar a propriedade da adição. Suponha que temos duas matrizes:
Então,
.
Aplicando
nessa soma:
Agora, aplicando
individualmente e somando:
Vemos que
, então a adição tá valendo.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Pegue um escalar
e uma matriz
.
Multiplicando a matriz por
:
Aplicando
nessa matriz:
Por outro lado, multiplicando o resultado de
por
:
Então,
, o que confirma a homogeneidade.
Resposta
Como
satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.