Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
T: M(2,2) R^2 definida por T([llx & y z & w])=(x+w, y+z).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir se a função é uma transformação linear. A função pega uma matriz e transforma em um vetor no espaço . Para resolver isso, vamos lembrar o que define uma transformação linear e ver se segue essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer matrizes e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e matriz .
Vamos verificar essas propriedades para a função dada.

Passo 3

Primeiro, vamos testar a propriedade da adição. Suponha que temos duas matrizes:
A = x1 & y1 z1 & w1 , B = x2 & y2 z2 & w2
Então, x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & w1 + w2 .
Aplicando T(A + B) = ( (x1 + x2) + (w1 + w2), (y1 + y2) + (z1 + z2) ) = (x1 + w1 + x2 + w2, y1 + z1 + y2 + z2) nessa soma:
T(A) + T(B) = (x1 + w1, y1 + z1) + (x2 + w2, y2 + z2) = (x1 + w1 + x2 + w2, y1 + z1 + y2 + z2)
Agora, aplicando individualmente e somando:
Vemos que , então a adição tá valendo.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Pegue um escalar x & y z & w e uma matriz cA = cx & cy cz & cw .
Multiplicando a matriz por T(cA) = (cx + cw, cy + cz) = (c(x + w), c(y + z)) :
cT(A) = c(x + w, y + z) = (c(x + w), c(y + z))
Aplicando nessa matriz:
Por outro lado, multiplicando o resultado de por :
Então, , o que confirma a homogeneidade.

Resposta

Como satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

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