Mostre que não são lineares as aplicações dadas.
definida por
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma função
definida por
. O objetivo é mostrar que essa função não é linear. Para isso, precisamos entender o que significa uma aplicação ser linear.
Conteúdo da matéria: Propriedades de funções lineares.
O que vamos precisar:
- Conhecer as definições de função linear.
- Aplicar essas definições à função
para verificar se elas são atendidas.
Passo 2
Definição de função linear:
Uma função
entre espaços vetoriais é linear se satisfaz as seguintes duas propriedades para todos os vetores
e todo escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar essas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a aditividade:
Se
fosse linear, deveria ser válida para quaisquer vetores
e
:
Por outro lado:
Para
ser linear, precisaríamos que:
Mas sabemos que:
A menos que
, o que não é geral, a igualdade não se sustenta.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Vamos testar para um escalar
e um vetor
:
Já:
Para
ser linear, precisaríamos que:
Isso só ocorre se
ou
, o que não é válido para todo
.
Resposta
Como a função
não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade para todas as entradas e escalares, concluímos que
não é linear.