Mostre que não são lineares as aplicações dadas. F: R^2 R^2 definida por F(x, y)=(x^2, y^2).

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma função definida por . O objetivo é mostrar que essa função não é linear. Para isso, precisamos entender o que significa uma aplicação ser linear.
Conteúdo da matéria: Propriedades de funções lineares.
O que vamos precisar:
  • Conhecer as definições de função linear.
  • Aplicar essas definições à função para verificar se elas são atendidas.

Passo 2

Definição de função linear:
Uma função entre espaços vetoriais é linear se satisfaz as seguintes duas propriedades para todos os vetores e todo escalar :
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a aditividade:
Se F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2) = ( (x1 + x2)^2, (y1 + y2)^2 ) fosse linear, deveria ser válida para quaisquer vetores F(u) + F(v) = (x1^2, y1^2) + (x2^2, y2^2) = (x1^2 + x2^2, y1^2 + y2^2) e (x1 + x2)^2 = x1^2 + x2^2 e (y1 + y2)^2 = y1^2 + y2^2 :
(x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2
Por outro lado:
Para ser linear, precisaríamos que:
Mas sabemos que:
A menos que , o que não é geral, a igualdade não se sustenta.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Vamos testar para um escalar F(cu) = F(cx, cy) = ( (cx)^2, (cy)^2 ) = (c^2x^2, c^2y^2) e um vetor cF(u) = c(x^2, y^2) = (c x^2, c y^2) :
c^2x^2 = c x^2 e c^2y^2 = c y^2
Já:
Para ser linear, precisaríamos que:
Isso só ocorre se ou , o que não é válido para todo .

Resposta

Como a função não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade para todas as entradas e escalares, concluímos que não é linear.

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