Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L
,
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite:
Vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas, como
ou
. Além disso, vamos usar propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o limite usando logaritmos. Seja
o limite que queremos encontrar:
Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar
, e depois exponenciar para obter
.
Passo 3
Observamos que, quando
tende a
,
também tende a
, mas de forma mais lenta. Assim,
também tende a
, porém ainda mais lentamente comparado a
.
Portanto, temos uma forma do tipo
, que é uma situação ideal para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
Agora, aplicamos a regra:
Passo 5
Vamos analisar o limite obtido:
Quando
tende a
, tanto
quanto
tendem a
. Portanto, o denominador cresce sem limite, fazendo com que toda a fração tenda a zero:
Assim, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a 1.