Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L lim x +infty(ln x)^1 / x,

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite:
limx +infty (ln x)^1/x
Vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas, como ou . Além disso, vamos usar propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o limite usando logaritmos. Seja L = limx +infty (ln x)^1/x o limite que queremos encontrar:
ln L = limx +infty ln(ln x)x
Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar , e depois exponenciar para obter .

Passo 3

Observamos que, quando tende a , também tende a , mas de forma mais lenta. Assim, também tende a , porém ainda mais lentamente comparado a .
Portanto, temos uma forma do tipo , que é uma situação ideal para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx [ln(ln x)] = 1ln x cdot 1x = 1x ln x :
ddx [x] = 1
ln L = limx +infty 1x ln x1 = limx +infty 1x ln x
Agora, aplicamos a regra:

Passo 5

Vamos analisar o limite obtido:
limx +infty 1x ln x
Quando limx +infty 1x ln x = 0 tende a ln L = 0 , tanto quanto tendem a . Portanto, o denominador cresce sem limite, fazendo com que toda a fração tenda a zero:
Assim, concluímos que:

Resposta

L = e^0 = 1
O limite é igual a 1.

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Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L lim x +infty x^1 / ln x,
Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L lim x 0^+(1+1x)^x,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = (x^2 - 1)^2,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = 2x - 3x^(2/3),