Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinarmos o limite de
quando
tende ao infinito. Vamos usar a Regra de L’Hospital, que é uma ferramenta poderosa para resolver limites que resultam em formas indeterminadas. Para isso, precisamos entender um pouco sobre logaritmos e exponenciais, mas vou explicar tudo direitinho nos próximos passos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Regra de L’Hospital. Quando temos uma base elevada a uma potência que envolve logaritmos, é útil aplicar o logaritmo natural (denotado por
) para transformar a expressão.
Então, vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos reescrever a expressão assim:
Aqui, o
no numerador e no denominador se cancelam, simplificando para:
Isso significa que o logaritmo natural da nossa expressão original é 1.
Passo 4
Agora, sabemos que se
, ent��o
, pois o inverso do logaritmo natural é a exponencial. Ou seja:
Onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.
Resposta
Portanto, o limite é igual a
.