Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L lim x +infty x^1 / ln x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinarmos o limite de quando tende ao infinito. Vamos usar a Regra de L’Hospital, que é uma ferramenta poderosa para resolver limites que resultam em formas indeterminadas. Para isso, precisamos entender um pouco sobre logaritmos e exponenciais, mas vou explicar tudo direitinho nos próximos passos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Regra de L’Hospital. Quando temos uma base elevada a uma potência que envolve logaritmos, é útil aplicar o logaritmo natural (denotado por ln ( x^1 / ln x ) ) para transformar a expressão.
Então, vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz 1ln x cdot ln x , podemos reescrever a expressão assim:
1
Aqui, o no numerador e no denominador se cancelam, simplificando para:
Isso significa que o logaritmo natural da nossa expressão original é 1.

Passo 4

Agora, sabemos que se L = e , ent��o , pois o inverso do logaritmo natural é a exponencial. Ou seja:
Onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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