I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de
.
,
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve várias partes sobre a função
. A gente vai trabalhar com intervalos de crescimento e decrescimento, encontrar os pontos de máximos e mínimos locais usando derivadas, identificar pontos de inflexão e concavidade, e por fim, esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar derivadas primeira e segunda, além de entender como elas nos ajudam a analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Derivando
:
Passo 3
Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal de
.
Vamos encontrar os valores críticos onde
:
Agora, analisamos o sinal de
em cada intervalo determinado por esses pontos:
-
Para
: Escolhemos -
Para
: Escolhemos -
Para
: Escolhemos -
Para
: Escolhemos
Então, os intervalos de crescimento são
e
, e os de decrescimento são
e
.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de máximos e mínimos locais usando o teste da primeira derivada. Sabemos que pontos críticos são
.
-
Em
:
A função muda de decrescente para crescente, entãoé um mínimo local. -
Em
:
A função muda de crescente para decrescente, entãoé um máximo local. -
Em
:
A função muda de decrescente para crescente, entãoé um mínimo local.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada segunda para encontrar pontos de inflexão e determinar a concavidade.
Primeiro, derivamos
:
Para encontrar possíveis pontos de inflexão, igualamos
a zero:
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos:
-
Para
: -
Para
:
Portanto, os pontos
e
são pontos de inflexão, onde a concavidade muda.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de
. Sabemos que a função tem mínimos locais em
e
, um máximo local em
, pontos de inflexão em
, e a concavidade muda nesses pontos. Além disso, a função é simétrica em relação ao eixo y, já que é uma função par.
Resposta
A função
cresce nos intervalos
e
, e decresce em
e
. Possui mínimos locais em
e
, e um máximo local em
. Há pontos de inflexão em
, com o gráfico sendo côncavo para cima fora desses pontos e concavo para baixo entre eles. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos, mostrando a simetria em relação ao eixo y e as mudanças de concavidade nos pontos de inflexão.
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I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de .
,
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de .
,
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de