I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = (x^2 - 1)^2,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve várias partes sobre a função . A gente vai trabalhar com intervalos de crescimento e decrescimento, encontrar os pontos de máximos e mínimos locais usando derivadas, identificar pontos de inflexão e concavidade, e por fim, esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar derivadas primeira e segunda, além de entender como elas nos ajudam a analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Derivando :

Passo 3

Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal de .
Vamos encontrar os valores críticos onde :
Agora, analisamos o sinal de em cada intervalo determinado por esses pontos:
  • Para : Escolhemos
  • Para : Escolhemos
  • Para : Escolhemos
  • Para : Escolhemos
Então, os intervalos de crescimento são e , e os de decrescimento são e .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de máximos e mínimos locais usando o teste da primeira derivada. Sabemos que pontos críticos são .
  • Em :
    A função muda de decrescente para crescente, então é um mínimo local.
  • Em :
    A função muda de crescente para decrescente, então é um máximo local.
  • Em :
    A função muda de decrescente para crescente, então é um mínimo local.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada segunda para encontrar pontos de inflexão e determinar a concavidade.
Primeiro, derivamos :
Para encontrar possíveis pontos de inflexão, igualamos a zero:
Vamos analisar o sinal de nos intervalos:
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos e são pontos de inflexão, onde a concavidade muda.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de . Sabemos que a função tem mínimos locais em e , um máximo local em , pontos de inflexão em , e a concavidade muda nesses pontos. Além disso, a função é simétrica em relação ao eixo y, já que é uma função par.

Resposta

A função cresce nos intervalos e , e decresce em e . Possui mínimos locais em e , e um máximo local em . Há pontos de inflexão em , com o gráfico sendo côncavo para cima fora desses pontos e concavo para baixo entre eles. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos, mostrando a simetria em relação ao eixo y e as mudanças de concavidade nos pontos de inflexão.

Exercícios relacionados

Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L lim x +infty(ln x)^1 / x,
Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L lim x +infty x^1 / ln x,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = 2x - 3x^(2/3),
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = e^x - 2 e^-x - 3 x,