Determine os seguintes limites:
(d) lim x -infty[ln (1+e^x)x].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais e logarítmicas, então vamos precisar entender como essas funções se comportam quando vai para .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando tende a . Sabemos que à medida que fica muito negativo, se aproxima de 0. Isso porque a função exponencial decresce rapidamente para valores negativos grandes.

Passo 3

Com isso, dentro do logaritmo temos . Já que está indo para 0, fica praticamente próximo de 1. Portanto, está se aproximando de , que é 0.

Passo 4

Agora, temos uma expressão do tipo . Qual é o comportamento disso? Quando o numerador tende a 0 e o denominador tende a , o quociente inteiro tende a 0. Isso porque o numerador está “se esgotando” bem mais rápido que o denominador.

Passo 5

Portanto, juntando tudo, concluímos que o limite é 0.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados