Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita: . Essa tarefa está relacionada ao estudo de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar a razão da série e verificar se ela converge, ou seja, se somar seus termos dá um resultado finito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a identificação da razão. Podemos fatorar o 5:
Aqui, a razão da série geométrica é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica , ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . No nosso caso:
Então, a série converge e podemos calcular a soma.

Passo 4

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que converge é:
Onde:
  • é a soma da série,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão.
No nosso caso, o primeiro termo (quando , ).

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
Lembrando que multiplicamos pelo 5 que fatoramos no início:

Resposta

A soma da série é 4.

Exercícios relacionados

Determine os seguintes limites:
(d) .
Prove que a função dada é contínua no conjunto dado.
Determine o valor dos seguintes limites laterais:
(i) .
Esboce o gráfico da função responda as seguintes questões:
© Em quais pontos existe apenas o limite à esquerda ?