Beleza, vamos resolver essa série infinita: . Essa tarefa está relacionada ao estudo de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar a razão da série e verificar se ela converge, ou seja, se somar seus termos dá um resultado finito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a identificação da razão. Podemos fatorar o 5:
Aqui, a razão da série geométrica é .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica , ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . No nosso caso:
Então, a série converge e podemos calcular a soma.
Passo 4
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que converge é:
Onde:
é a soma da série,
é o primeiro termo,
é a razão.
No nosso caso, o primeiro termo (quando , ).
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Lembrando que multiplicamos pelo 5 que fatoramos no início: