sumk=0^infty(-1)^k 54^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita: sumk=0^infty(-1)^k 54^k. Essa tarefa está relacionada ao estudo de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar a razão da série e verificar se ela converge, ou seja, se somar seus termos dá um resultado finito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a identificação da razão. Podemos fatorar o 5:
5 sumk=0^infty (-14)^k
Aqui, a razão da série geométrica é r = -14.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica sumk=0^infty r^k, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, |r| < 1. No nosso caso:
|-14| = 14 < 1
Então, a série converge e podemos calcular a soma.

Passo 4

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que converge é:
S = a1 - r
Onde:
  • S é a soma da série,
  • a é o primeiro termo,
  • r é a razão.
No nosso caso, o primeiro termo a = 1 (quando k=0, (-14)^0 = 1).

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
S = 11 - (-14) = 11 + 14 = 154 = 45
Lembrando que multiplicamos pelo 5 que fatoramos no início:
5 times 45 = 4

Resposta

A soma da série é 4.

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