Prove que a função dada é contínua no conjunto dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função é contínua em todo o conjunto dos números reais . Isso está relacionado ao estudo de séries de funções e continuidade na análise matemática. Para resolver isso, vamos analisar a convergência da série e utilizar propriedades de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida como uma série infinita onde cada termo é . Isso se parece muito com a expansão da função exponencial. De fato, sabemos que . Então, podemos reescrever nossa função como .
Passo 3
Sabendo que , precisamos lembrar que a função exponencial é contínua em todo o seu domínio, que nesse caso é . A continuidade de para qualquer constante garante que também seja contínua para todo real.
Passo 4
Mas, se quisermos provar isso sem identificar a função diretamente como exponencial, podemos usar o critério de convergência uniforme. Vamos verificar se a série converge uniformemente em .
Passo 5
Para isso, aplicamos o Teste da Razão. Calculamos o limite . Como o limite é menor que 1, a série converge absolutamente e, portanto, converge uniformemente em .
Passo 6
Sabemos que, se uma série de funções converge uniformemente e cada termo da série é contínuo, então a função limite também é contínua. Cada termo é um polinômio em , que é uma função contínua. Então, a soma da série, , também é contínua em .