Prove que a função dada é contínua no conjunto dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função é contínua em todo o conjunto dos números reais . Isso está relacionado ao estudo de séries de funções e continuidade na análise matemática. Para resolver isso, vamos analisar a convergência da série e utilizar propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida como uma série infinita onde cada termo é . Isso se parece muito com a expansão da função exponencial. De fato, sabemos que . Então, podemos reescrever nossa função como .

Passo 3

Sabendo que , precisamos lembrar que a função exponencial é contínua em todo o seu domínio, que nesse caso é . A continuidade de para qualquer constante garante que também seja contínua para todo real.

Passo 4

Mas, se quisermos provar isso sem identificar a função diretamente como exponencial, podemos usar o critério de convergência uniforme. Vamos verificar se a série converge uniformemente em .

Passo 5

Para isso, aplicamos o Teste da Razão. Calculamos o limite . Como o limite é menor que 1, a série converge absolutamente e, portanto, converge uniformemente em .

Passo 6

Sabemos que, se uma série de funções converge uniformemente e cada termo da série é contínuo, então a função limite também é contínua. Cada termo é um polinômio em , que é uma função contínua. Então, a soma da série, , também é contínua em .

Resposta

Portanto, a função é contínua no conjunto .

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Usando os limites fundamentais:
calcule:
(l) .
Usando os limites fundamentais:
calcule:
(f) .
Determine os seguintes limites:
(d) .