Determine os seguintes limites para a função:
l lim x 0^- f(x) lim x 0 f(x) lim x infty f(x) lim x -infty f(x)
f(x)=3 x+7x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar quatro limites para a função . Os limites que vamos calcular são:
Para isso, vamos usar os conceitos de limites de funções racionais e analisar o comportamento da função conforme se aproxima dos valores indicados.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite: lim x 0^- 3x + 7x^2 - 2 = 7-2 = -72 .
Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), queremos ver o que acontece com .
Substituindo por valores muito próximos de 0:
  • O numerador fica próximo de , porque é quase zero.
  • O denominador fica próximo de , já que também é quase zero.
Então, o limite fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite: lim x 0 3x + 7x^2 - 2 = -72 .
Esse limite é o mesmo que os limites pela esquerda e pela direita. Já vimos que pelo lado esquerdo dá . Vamos ver pelo lado direito ( ):
  • Numerador: ainda está perto de .
  • Denominador: também está perto de .
Então, o limite pela direita é também .
Portanto, o limite geral é:

Passo 4

Vamos para o terceiro limite: lim x infty 3x + 7x^2 - 2 = 0 .
Quando vai para , observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, a função se comporta como . À medida que cresce sem limites, se aproxima de 0. Portanto:

Passo 5

Por último, vamos calcular o quarto limite: lim x -infty 3x + 7x^2 - 2 = 0 .
Aqui, novamente analisamos os termos de maior grau:
  • Numerador:
  • Denominador:
A função se comporta como . Quando vai para , também se aproxima de 0 (positivamente, já que é negativo e o resultado fica próximo de zero).
Então:

Resposta

Os limites da função &lim x 0^- f(x) = -72 &lim x 0 f(x) = -72 &lim x infty f(x) = 0 &lim x -infty f(x) = 0 são:

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