Determine os seguintes limites para a função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar quatro limites para a função
. Os limites que vamos calcular são:
Para isso, vamos usar os conceitos de limites de funções racionais e analisar o comportamento da função conforme
se aproxima dos valores indicados.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
.
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
), queremos ver o que acontece com
.
Substituindo
por valores muito próximos de 0:
- O numerador
fica próximo de , porque é quase zero. - O denominador
fica próximo de , já que também é quase zero.
Então, o limite fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o segundo limite:
.
Esse limite é o mesmo que os limites pela esquerda e pela direita. Já vimos que pelo lado esquerdo dá
. Vamos ver pelo lado direito (
):
- Numerador:
ainda está perto de . - Denominador:
também está perto de .
Então, o limite pela direita é também
.
Portanto, o limite geral é:
Passo 4
Vamos para o terceiro limite:
.
Quando
vai para
, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Então, a função se comporta como
. À medida que
cresce sem limites,
se aproxima de 0. Portanto:
Passo 5
Por último, vamos calcular o quarto limite:
.
Aqui, novamente analisamos os termos de maior grau:
- Numerador:
- Denominador:
A função se comporta como
. Quando
vai para
,
também se aproxima de 0 (positivamente, já que
é negativo e o resultado fica próximo de zero).
Então:
Resposta
Os limites da função
são: