Determine os seguintes limites para a função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver os limites da função
. O que precisamos fazer aqui é calcular o comportamento dessa função quando
se aproxima de certos valores:
(ou seja, 0 vindo da esquerda), 0,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções racionais, onde comparamos os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa que estamos aproximando
de 0 vindo de valores negativos. Vamos substituir
na função:
Aqui, o denominador se aproxima de 0, mas precisamos verificar o sinal. Como
está vindo de valores negativos, o denominador
se comporta como
, que, para
negativo, dá um valor positivo. Então, temos uma divisão por um número muito pequeno positivo, o que leva o limite a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Esse limite não especifica a direção, então devemos verificar se os limites laterais são iguais.
Já vimos que
. Agora, vamos calcular
:
Dessa vez, o denominador
se comporta como
, e para
positivo, isso dá um valor negativo. Então, temos uma divisão por um número muito pequeno negativo, o que leva o limite a
.
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral
não existe.
Passo 4
Vamos agora calcular
. Para limites no infinito de funções racionais, comparamos os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
Aqui, ambos os polinômios têm grau 3. Quando os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes:
Passo 5
Por último, vamos calcular
. Assim como no passo anterior, os graus são iguais, então o limite é novamente a razão dos coeficientes líderes: