Determine os seguintes limites para a função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
e precisamos descobrir quatro limites diferentes dessa função. O conteúdo que vamos usar envolve limites de funções racionais, ou seja, funções que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Vamos precisar simplificar a função e analisar o comportamento dela quando
se aproxima de 0 pela esquerda, de 0 em geral, do infinito e do menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar nossos cálculos. A função é:
Podemos fatorar um
no denominador:
Agora, a função está mais simples para trabalharmos com os limites.
Passo 3
Vamos calcular o primeiro limite:
.
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
), vamos substituir
na função simplificada:
Então, o primeiro limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo limite:
.
Como já vimos no passo anterior, quando
se aproxima de 0, tanto pela esquerda quanto pela direita, a função se comporta da mesma forma porque os termos de
são elevados ao quadrado ou estão multiplicados por
:
Portanto, o segundo limite também é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular o terceiro limite:
.
Quando
tende ao infinito, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam o comportamento da função. Então, podemos simplificar olhando apenas para esses termos:
Então, o terceiro limite é 7.
Passo 6
Por fim, vamos ao quarto limite:
.
Assim como no caso do infinito positivo, quando
tende ao menos infinito, os termos de maior grau dominam:
Então, o quarto limite também é 7.