Determine os seguintes limites para a função:
l lim x 0^- f(x) lim x 0 f(x) lim x infty f(x) lim x -infty f(x)
h(x)=7 x^3x^3-3 x^2+6 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e precisamos descobrir quatro limites diferentes dessa função. O conteúdo que vamos usar envolve limites de funções racionais, ou seja, funções que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Vamos precisar simplificar a função e analisar o comportamento dela quando se aproxima de 0 pela esquerda, de 0 em geral, do infinito e do menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar nossos cálculos. A função é:
h(x) = 7x^3x^3 - 3x^2 + 6x
Podemos fatorar um h(x) = 7x^3x(x^2 - 3x + 6) = 7x^2x^2 - 3x + 6 no denominador:
Agora, a função está mais simples para trabalharmos com os limites.

Passo 3

Vamos calcular o primeiro limite: limx 0^- 7x^2x^2 - 3x + 6 = 7(0)^2(0)^2 - 3(0) + 6 = 06 = 0 .
Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), vamos substituir na função simplificada:
Então, o primeiro limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo limite: limx 0 7x^2x^2 - 3x + 6 = 06 = 0 .
Como já vimos no passo anterior, quando se aproxima de 0, tanto pela esquerda quanto pela direita, a função se comporta da mesma forma porque os termos de são elevados ao quadrado ou estão multiplicados por :
Portanto, o segundo limite também é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o terceiro limite: limx infty 7x^2x^2 - 3x + 6 approx 7x^2x^2 = 7 .
Quando tende ao infinito, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam o comportamento da função. Então, podemos simplificar olhando apenas para esses termos:
Então, o terceiro limite é 7.

Passo 6

Por fim, vamos ao quarto limite: limx -infty 7x^2x^2 - 3x + 6 approx 7x^2x^2 = 7 .
Assim como no caso do infinito positivo, quando tende ao menos infinito, os termos de maior grau dominam:
Então, o quarto limite também é 7.

Resposta

limx 0^- h(x) = 0 limx 0 h(x) = 0 limx infty h(x) = 7 limx -infty h(x) = 7

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