Mostre que a função
é uma solução da equação de onda unidimensional
.
Passo 1
Vamos lá! Temos que mostrar que a função
resolve a equação de onda unidimensional, que é dada por:
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e a
e verificar se elas satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação ao tempo
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a primeira derivada de
em relação ao espaço
:
Passo 5
Vamos agora à segunda derivada de
em relação a
:
Passo 6
Finalmente, substituímos as derivadas na equação de onda para verificar se a igualdade se mantém:
Resposta
Como
, concluímos que a função
é uma solução da equação de onda unidimensional.