Mostre que a função w=cos (2 x+2 c t) é uma solução da equação de onda unidimensional partial^2 wpartial t^2=c^2 partial^2 wpartial x^2.

Passo 1

Vamos lá! Temos que mostrar que a função partial^2 wpartial t^2 = c^2 partial^2 wpartial x^2 resolve a equação de onda unidimensional, que é dada por:
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e a e verificar se elas satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de partial wpartial t = -sin(2x + 2ct) cdot 2c = -2c sin(2x + 2ct) em relação ao tempo . Lembrando que a derivada de em relação a é , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 wpartial t^2 = partialpartial t ( -2c sin(2x + 2ct) ) = -2c cdot cos(2x + 2ct) cdot 2c = -4c^2 cos(2x + 2ct) em relação a :

Passo 4

Em seguida, calculamos a primeira derivada de partial wpartial x = -sin(2x + 2ct) cdot 2 = -2 sin(2x + 2ct) em relação ao espaço :

Passo 5

Vamos agora à segunda derivada de partial^2 wpartial x^2 = partialpartial x ( -2 sin(2x + 2ct) ) = -2 cos(2x + 2ct) cdot 2 = -4 cos(2x + 2ct) em relação a :

Passo 6

Finalmente, substituímos as derivadas na equação de onda para verificar se a igualdade se mantém:
partial^2 wpartial t^2 = -4c^2 cos(2x + 2ct)
c^2 partial^2 wpartial x^2 = c^2 cdot (-4 cos(2x + 2ct)) = -4c^2 cos(2x + 2ct)

Resposta

Como , concluímos que a função é uma solução da equação de onda unidimensional.

Exercícios relacionados