Mostre que f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2z^2 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função satisfaz a equação de Laplace. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais parciais na matemática. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a , e e somá-las para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. A equação de Laplace em três dimensões é dada por:
Isso significa que, se somarmos as segundas derivadas parciais de em relação a , e e obtivermos zero, a função satisfaz a equação de Laplace.

Passo 3

Vamos calcular agora cada uma dessas segundas derivadas parciais para a função .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Em seguida, a derivada parcial de em relação a :
E a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos para a derivada parcial de em relação a :
E a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Agora, vamos somar todas essas segundas derivadas parciais conforme a equação de Laplace:

Resposta

Concluímos que , portanto, a função satisfaz a equação de Laplace.

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