Mostre que
satisfaz uma equação de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais parciais na matemática. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
e somá-las para ver se o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. A equação de Laplace em três dimensões é dada por:
Isso significa que, se somarmos as segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
e obtivermos zero, a função
satisfaz a equação de Laplace.
Passo 3
Vamos calcular agora cada uma dessas segundas derivadas parciais para a função
.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
:
E a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos para a derivada parcial de
em relação a
:
E a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos somar todas essas segundas derivadas parciais conforme a equação de Laplace:
Resposta
Concluímos que
, portanto, a função
satisfaz a equação de Laplace.