Seja
. Encontre
e
diga qual é o domínio para cada derivada parcial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida de maneira diferente dependendo do valor de
:
O conteúdo da matéria envolve derivadas parciais, que são as derivadas de funções com mais de uma variável em relação a uma delas, mantendo as outras constantes. Precisamos encontrar as derivadas parciais
,
,
e
, além de determinar o domínio de cada uma delas.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Observando a função
, percebemos que ela não depende de
explicitamente. Isso significa que, ao derivar em relação a
, tratando
como constante, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Precisamos considerar as duas partes da função:
- Para
:
- Para
:
Portanto, a derivada parcial
é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
:
- Para
:
- Para
:
Assim, a segunda derivada parcial
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada mista
, que é a derivada parcial de
em relação a
. Como vimos no Passo 2,
e
não depende de
. Portanto, ao derivar
em relação a
, obtemos:
Passo 6
Por fim, vamos determinar o domínio de cada derivada parcial:
-
: Como para todos os valores de , o domínio é todo o plano . -
: Está definido para todos os , mas com duas expressões diferentes dependendo de ou . Portanto, o domínio é todo o plano . -
: Também está definido para todos os , com diferentes expressões para e . Assim, o domínio é todo o plano . -
: Como para todos os , o domínio é todo o plano .
Resposta
As derivadas parciais e seus domínios são: