Seja f(x, y) = { y^3, y ≥ 0; -y^2, y < 0 }. Encontre f_x, f_y, f_yy e f_y x e diga qual é o domínio para cada derivada parcial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida de maneira diferente dependendo do valor de :
O conteúdo da matéria envolve derivadas parciais, que são as derivadas de funções com mais de uma variável em relação a uma delas, mantendo as outras constantes. Precisamos encontrar as derivadas parciais , , e , além de determinar o domínio de cada uma delas.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Observando a função , percebemos que ela não depende de explicitamente. Isso significa que, ao derivar em relação a , tratando como constante, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Precisamos considerar as duas partes da função:
  1. Para :
  1. Para :
Portanto, a derivada parcial é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a :
  1. Para :
  1. Para :
Assim, a segunda derivada parcial é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada mista , que é a derivada parcial de em relação a . Como vimos no Passo 2, e não depende de . Portanto, ao derivar em relação a , obtemos:

Passo 6

Por fim, vamos determinar o domínio de cada derivada parcial:
  • : Como para todos os valores de , o domínio é todo o plano .
  • : Está definido para todos os , mas com duas expressões diferentes dependendo de ou . Portanto, o domínio é todo o plano .
  • : Também está definido para todos os , com diferentes expressões para e . Assim, o domínio é todo o plano .
  • : Como para todos os , o domínio é todo o plano .

Resposta

As derivadas parciais e seus domínios são:

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