O processo pelo qual determinamos limites de funções racionais se aplica igualmente bem a razões contendo potências de x não inteiras ou negativas: dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de x no denominador e continuar a partir dali. Determine os limites nos Exercícios 23-36.
lim x -infty raiz[3]x-raiz[5]xraiz[3]x+raiz[5]x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado a limites de funções racionais que envolvem potências de com expoentes não inteiros. Para resolver, vamos precisar dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de que aparece no denominador. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, identifique qual é a potência mais alta de raiz[3]x = x^1/3 e raiz[5]x = x^1/5 no denominador. Temos e . Vamos reescrever essas raízes com expoentes fracionários:
Entre e , o maior expoente é . Então, vamos dividir o numerador e o denominador por .

Passo 3

Dividindo cada termo do numerador e do denominador por x^1/3 - x^1/5x^1/3 + x^1/5 = x^1/3x^1/3 - x^1/5x^1/3x^1/3x^1/3 + x^1/5x^1/3 , temos:
1 - x^1/5 - 1/31 + x^1/5 - 1/3 = 1 - x^-2/151 + x^-2/15
Simplificando cada fração:
Aqui, usamos a regra de divisão de potências: .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende a . Como o expoente é negativo, é o mesmo que . Quando vai para menos infinito, também tende para infinito, então tende a zero.

Passo 5

Substituindo essa informação na expressão simplificada:
1 - 01 + 0 = 11 = 1
Portanto, o limite é 1.

Resposta

limx -infty raiz[3]x - raiz[5]xraiz[3]x + raiz[5]x = 1

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