Utilizando a definição de derivada parcial, calcule as derivadas parciais da função
nos pontos especificados:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis:
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
no ponto específico
. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a entender como a função muda quando só uma das variáveis muda, mantendo a outra fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que é
. A definição de derivada parcial em relação a
é:
Basicamente, estamos vendo como
muda quando aumentamos
um pouquinho,
, enquanto
fica constante.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição na nossa função:
- Primeiro, substituímos
por na função:
- Agora, calculamos a diferença
:
- Dividimos essa diferença por
:
- Por fim, tiramos o limite quando
tende a 0:
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que é
. Usamos uma definição parecida:
Aqui, a gente vê como
muda quando aumenta
um pouquinho,
, enquanto
fica fixo.
Passo 5
Aplicando a definição na nossa função:
- Substituímos
por :
- Calculamos a diferença
:
- Dividimos por
:
- Tiramos o limite quando
vai para 0:
Agora, avaliamos no ponto
:
Resposta
As derivadas parciais da função
no ponto
são: