Utilizando a definição de derivada parcial, calcule as derivadas parciais da função f(x, y)=1-x+y-3 x^2 y nos pontos especificados: partial fpartial x e partial fpartial y em(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis: . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a no ponto específico . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a entender como a função muda quando só uma das variáveis muda, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial x = limh to 0 f(x + h, y) - f(x, y)h , que é . A definição de derivada parcial em relação a é:
Basicamente, estamos vendo como muda quando aumentamos um pouquinho, , enquanto fica constante.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição na nossa função:
  1. Primeiro, substituímos f(x + h, y) = 1 - (x + h) + y - 3(x + h)^2y por f(x + h, y) - f(x, y) = [1 - (x + h) + y - 3(x + h)^2y] - [1 - x + y - 3x^2y] na função:
= -h - 3[(x + h)^2 - x^2]y
  1. Agora, calculamos a diferença = -h - 3(2xh + h^2)y :
f(x + h, y) - f(x, y)h = -1 - 3(2x + h)y
partial fpartial x = -1 - 6xy
partial fpartial x(1, 2) = -1 - 6 cdot 1 cdot 2 = -1 - 12 = -13
  1. Dividimos essa diferença por :
  1. Por fim, tiramos o limite quando tende a 0:
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial y = limh to 0 f(x, y + h) - f(x, y)h , que é . Usamos uma definição parecida:
Aqui, a gente vê como muda quando aumenta um pouquinho, , enquanto fica fixo.

Passo 5

Aplicando a definição na nossa função:
  1. Substituímos f(x, y + h) = 1 - x + (y + h) - 3x^2(y + h) por f(x, y + h) - f(x, y) = [1 - x + y + h - 3x^2y - 3x^2h] - [1 - x + y - 3x^2y] :
= h - 3x^2h
  1. Calculamos a diferença f(x, y + h) - f(x, y)h = 1 - 3x^2 :
partial fpartial y = 1 - 3x^2
partial fpartial y(1, 2) = 1 - 3 cdot 1^2 = 1 - 3 = -2
  1. Dividimos por :
  1. Tiramos o limite quando vai para 0:
Agora, avaliamos no ponto :

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x(1, 2) = -13 e partial fpartial y(1, 2) = -2 no ponto são:

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