O processo pelo qual determinamos limites de funções racionais se aplica igualmente bem a razões contendo potências de x não inteiras ou negativas: dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de x no denominador e continuar a partir dali. Determine os limites nos Exercícios 23-36.
lim x infty x^-1+x^-4x^-2-x^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando tende ao infinito da função racional . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, que envolvem potências de não inteiras ou negativas. Para resolver, vamos dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de no denominador.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual é a potência mais alta de no denominador. Olhando para o denominador , vemos que as potências são e . Entre essas, é a mais alta (já que ).

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por x^-1x^-2 + x^-4x^-2x^-2x^-2 - x^-3x^-2 . Isso ajuda a simplificar a expressão, facilitando o cálculo do limite. Fazendo isso, temos:

Passo 4

Vamos simplificar cada fração. Lembrando que dividir potências com a mesma base é igual a subtrair os expoentes:
x^-1 - (-2) + x^-4 - (-2)x^-2 - (-2) - x^-3 - (-2)
Simplificando os expoentes:
x^1 + x^-2x^0 - x^-1
Como x + x^-21 - x^-1 , fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando infty + 01 - 0 = infty1 = infty tende ao infinito:
  • tende a .
  • tende a .
  • também tende a .
Então, substituindo esses limites na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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