lim x +infty(raiz3 x^2+2 x+1-raiz2 x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com limites em funções que envolvem raízes quadradas, um tema de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão usando algumas técnicas de álgebra e entender como os termos se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que quando cresce bastante, os termos dentro das raízes quadradas são dominados pelos termos de maior grau. No caso de , o termo é o que mais cresce, e em , o termo domina. Mas, para calcular o limite, precisamos ser mais precisos. Uma boa estratégia é racionalizar a expressão para simplificar as raízes.

Passo 3

Vamos multiplicar e dividir a expressão por seu conjugado. O conjugado de limx to +infty ( raiz3x^2 + 2x +1 - raiz2x ) times raiz3x^2 + 2x +1 + raiz2xraiz3x^2 + 2x +1 + raiz2x é . Isso nos ajuda a eliminar as raízes no numerador:

Passo 4

Simplificando o numerador usando a identidade limx to +infty (3x^2 + 2x +1) - 2xraiz3x^2 + 2x +1 + raiz2x = limx to +infty 3x^2 +1raiz3x^2 + 2x +1 + raiz2x :
limx to +infty 3x^2/x +1/xraiz3x^2/x^2 + 2x/x^2 +1/x^2 + raiz2x/x = limx to +infty 3x +1/xraiz3 + 2/x +1/x^2 + raiz2/x
Agora, vamos dividir numerador e denominador por limx to +infty 3xraiz3 + 0 = 3xraiz3 :
Quando tende a infinito, , e tendem a zero. Então, simplificamos:
Mas, como tende a infinito, a expressão também tende a infinito. Portanto, o limite é infinito.

Resposta

O limite é infinito.

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