Determine os seguintes limites.
lim (x, y) (0,0) x^32 x^2+3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x^32 x^2+3 y^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, ou seja, quando se aproximam de . Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos. Vamos ver passo a passo como determinar esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar o comportamento da função. Observe o numerador e o denominador:
x^32 x^2+3 y^2
Aqui, o numerador é e o denominador é . Quando se aproximam de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Isso significa que estamos diante de uma indeterminação do tipo , e precisamos analisar melhor.

Passo 3

Uma técnica comum para avaliar limites de funções de várias variáveis é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que resultam em limites diferentes, então o limite geral não existe. Caso contrário, se todos os caminhos derem o mesmo valor, podemos concluir que o limite existe e é esse valor.

Passo 4

Vamos começar analisando alguns caminhos simples:
Caminho 1: x^32x^2+3(0)^2 = x^32x^2 = x2
Substituindo limx to 0 x2 = 0 na expressão:
0^32(0)^2+3y^2 = 03y^2 = 0
Agora, calculamos o limite quando :
Caminho 2:
Substituindo na expressão:
Então, o limite também é 0 nesse caminho.

Passo 5

Vamos testar um caminho mais geral, onde x^32x^2+3(kx)^2 = x^32x^2+3k^2x^2 = x^3x^2(2 + 3k^2) = x2 + 3k^2 para alguma constante limx to 0 x2 + 3k^2 = 0 . Isso nos ajuda a ver como a função se comporta quando está relacionado a .
Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite quando :
Independente do valor de , o limite é 0.

Passo 6

Finalmente, para garantir que o limite é realmente 0, vamos usar uma estimativa para mostrar que, conforme | x^32x^2+3y^2 | <= |x|^32x^2 = |x|2 se aproximam de lim (x, y) (0,0) x^32 x^2+3 y^2 = 0 , a função fica arbitrariamente próxima de 0.
Observamos que:
Como tende a 0 quando tende a 0, concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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