Determine os seguintes limites.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, ou seja, quando se aproximam de . Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos. Vamos ver passo a passo como determinar esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar o comportamento da função. Observe o numerador e o denominador:
Aqui, o numerador é e o denominador é . Quando se aproximam de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Isso significa que estamos diante de uma indeterminação do tipo , e precisamos analisar melhor.

Passo 3

Uma técnica comum para avaliar limites de funções de várias variáveis é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que resultam em limites diferentes, então o limite geral não existe. Caso contrário, se todos os caminhos derem o mesmo valor, podemos concluir que o limite existe e é esse valor.

Passo 4

Vamos começar analisando alguns caminhos simples:
Caminho 1:
Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite quando :
Caminho 2:
Substituindo na expressão:
Então, o limite também é 0 nesse caminho.

Passo 5

Vamos testar um caminho mais geral, onde para alguma constante . Isso nos ajuda a ver como a função se comporta quando está relacionado a .
Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite quando :
Independente do valor de , o limite é 0.

Passo 6

Finalmente, para garantir que o limite é realmente 0, vamos usar uma estimativa para mostrar que, conforme se aproximam de , a função fica arbitrariamente próxima de 0.
Observamos que:
Como tende a 0 quando tende a 0, concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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