Determine os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, ou seja, quando
se aproximam de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos. Vamos ver passo a passo como determinar esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar o comportamento da função. Observe o numerador e o denominador:
Aqui, o numerador é
e o denominador é
. Quando
se aproximam de
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Isso significa que estamos diante de uma indeterminação do tipo
, e precisamos analisar melhor.
Passo 3
Uma técnica comum para avaliar limites de funções de várias variáveis é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que resultam em limites diferentes, então o limite geral não existe. Caso contrário, se todos os caminhos derem o mesmo valor, podemos concluir que o limite existe e é esse valor.
Passo 4
Vamos começar analisando alguns caminhos simples:
Caminho 1:
Substituindo
na expressão:
Agora, calculamos o limite quando
:
Caminho 2:
Substituindo
na expressão:
Então, o limite também é 0 nesse caminho.
Passo 5
Vamos testar um caminho mais geral, onde
para alguma constante
. Isso nos ajuda a ver como a função se comporta quando
está relacionado a
.
Substituindo
na expressão:
Agora, calculamos o limite quando
:
Independente do valor de
, o limite é 0.
Passo 6
Finalmente, para garantir que o limite é realmente 0, vamos usar uma estimativa para mostrar que, conforme
se aproximam de
, a função fica arbitrariamente próxima de 0.
Observamos que:
Como
tende a 0 quando
tende a 0, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a 0.
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Sejam
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vale
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e
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(a)
(a)
(b)
Verifique se as seguintes funções são contínuas em
.
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.