Sejam funções. Mostre que para vale

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções, e , e um conjunto . Queremos mostrar que a pré-imagem de pela composição das funções é igual à pré-imagem de tomada em duas etapas: primeiro com e depois com . Ou seja, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de função e conjuntos, especialmente a definição de pré-imagem.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é a pré-imagem de um conjunto por uma função. Dada uma função e um conjunto , a pré-imagem é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para por . Ou seja:
Isso significa que para encontrar e , precisamos identificar todos os elementos que satisfazem as condições definidas pelas funções e pelo conjunto .

Passo 3

Vamos analisar cada parte da expressão que queremos provar. Primeiro, a composição significa que aplicamos e depois ao resultado de . Assim, para um elemento :
Agora, vamos ver o que significa . Segundo a definição de pré-imagem:

Passo 4

Por outro lado, vamos analisar . Primeiro, encontramos , que é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para por :
Em seguida, aplicamos a esse conjunto, ou seja, buscamos todos os que são mapeados para algum por :
Isso significa que:

Resposta

Portanto, concluímos que:

Exercícios relacionados

Sejam e famílias de conjuntos. Mostre que
(a)
(b)
Seu objetivo nessa questão será calcular a , onde é a região limitada pelas parábolas e . Para isso:
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
Determine os seguintes limites.
Verifique se as seguintes funções são contínuas em .