Sejam
funções. Mostre que para
vale
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções,
e
, e um conjunto
. Queremos mostrar que a pré-imagem de
pela composição das funções
é igual à pré-imagem de
tomada em duas etapas: primeiro com
e depois com
. Ou seja, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de função e conjuntos, especialmente a definição de pré-imagem.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é a pré-imagem de um conjunto por uma função. Dada uma função
e um conjunto
, a pré-imagem
é o conjunto de todos os elementos de
que são mapeados para
por
. Ou seja:
Isso significa que para encontrar
e
, precisamos identificar todos os elementos que satisfazem as condições definidas pelas funções e pelo conjunto
.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da expressão que queremos provar. Primeiro, a composição
significa que aplicamos
e depois
ao resultado de
. Assim, para um elemento
:
Agora, vamos ver o que significa
. Segundo a definição de pré-imagem:
Passo 4
Por outro lado, vamos analisar
. Primeiro, encontramos
, que é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para
por
:
Em seguida, aplicamos
a esse conjunto, ou seja, buscamos todos os
que são mapeados para algum
por
:
Isso significa que:
Resposta
Portanto, concluímos que:
Exercícios relacionados
Sejam
e
famílias de conjuntos. Mostre que
(a)
(a)
(b)
Seu objetivo nessa questão será calcular a
, onde
é a região limitada pelas parábolas
e
. Para isso:
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
Determine os seguintes limites.
Verifique se as seguintes funções são contínuas em
.