Determine os seguintes limites:
®
.
®
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede: precisamos encontrar o limite quando
tende ao infinito da expressão . Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites, e para resolvê-lo, vamos precisar entender como as funções seno e polinômios se comportam quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na função . A função seno sempre oscila entre -1 e 1, ou seja, não importa o valor de
, nunca vai ser menor que -1 nem maior que 1. Isso significa que o numerador da nossa fração está sempre limitado dentro desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador, que é
. Conforme
aumenta,
também cresce sem parar, indo para mais e mais infinito. Ou seja, o denominador está aumentando sem limites.
Passo 4
Então, temos uma situação onde o numerador está sempre entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce para o infinito. Quando dividimos um número que não cresce (ou seja, que está limitado) por algo que cresce sem limites, o resultado dessa divisão tende a zero. Isso acontece porque o denominador “puxa” a fração para valores cada vez menores.
Resposta
Portanto, o limite é:
Exercícios relacionados
Determine
, quando:
(e) .
(e)
13
Nos exercícios 13.a 18., descreva as curvas de nível da função.
13.
Nos exercícios 13.a 18., descreva as curvas de nível da função.
13.
Determine os seguintes limites:
(w) .
(w)
Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
32.
32.