Determine os seguintes limites:
® lim x +infty sen(3 x)5 x.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede: precisamos encontrar o limite quando tende ao infinito da expressão . Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites, e para resolvê-lo, vamos precisar entender como as funções seno e polinômios se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na função . A função seno sempre oscila entre -1 e 1, ou seja, não importa o valor de , nunca vai ser menor que -1 nem maior que 1. Isso significa que o numerador da nossa fração está sempre limitado dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, que é . Conforme aumenta, também cresce sem parar, indo para mais e mais infinito. Ou seja, o denominador está aumentando sem limites.

Passo 4

Então, temos uma situação onde o numerador está sempre entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce para o infinito. Quando dividimos um número que não cresce (ou seja, que está limitado) por algo que cresce sem limites, o resultado dessa divisão tende a zero. Isso acontece porque o denominador “puxa” a fração para valores cada vez menores.

Resposta

Portanto, o limite é:

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