Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
32.
32.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite da função
quando
e
estão indo para 0. Isso faz parte do tópico de limites em funções de várias variáveis, e vamos precisar verificar se esse limite existe ou não, observando como a função se comporta ao se aproximar de diferentes caminhos em direção ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite testando alguns caminhos diferentes para ver se a função dá o mesmo resultado ou se varia, o que indicaria que o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar com o caminho onde
. Substituindo na função:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos tentar com o caminho onde
. Substituindo na função:
Então, pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 5
Vamos tentar outro caminho, por exemplo,
. Substituindo:
Aqui, a expressão fica indefinida, pois estamos dividindo por zero. Isso sugere que o limite pode não existir ou pode depender de como nos aproximamos do ponto.
Passo 6
Vamos tentar um caminho diferente, como
, onde
é uma constante. Substituindo:
Agora, ao levar
para 0:
Então, para qualquer
, o limite é 0.
Passo 7
Porém, quando
, ou seja,
, já vimos que a função fica indefinida, indicando que ao se aproximar pelo caminho
, o comportamento da função é diferente e não se aproxima de 0 de forma consistente.
Passo 8
Isso significa que o limite depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de
. Como obtenhamos resultados diferentes ou indeterminações dependendo do caminho, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.
Exercícios relacionados
Determine os seguintes limites:
(w) .
(w)
Determine os seguintes limites:
® .
®
Utilizando o Teorema 3, verifique que as funções abaixo são diferenciáveis.
Determine os seguintes limites:
(l) .
(l)