Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
32. lim substackx 0 y 0 x y^2x^2-y^2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite da função x y^2x^2-y^2 quando x e y estão indo para 0. Isso faz parte do tópico de limites em funções de várias variáveis, e vamos precisar verificar se esse limite existe ou não, observando como a função se comporta ao se aproximar de diferentes caminhos em direção ao ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite testando alguns caminhos diferentes para ver se a função dá o mesmo resultado ou se varia, o que indicaria que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar com o caminho onde y = 0. Substituindo na função:
x (0)^2x^2 - (0)^2 = 0x^2 = 0
Então, pelo caminho y=0, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar com o caminho onde x = 0. Substituindo na função:
0 cdot y^20 - y^2 = 0-y^2 = 0
Então, pelo caminho x=0, o limite também é 0.

Passo 5

Vamos tentar outro caminho, por exemplo, y = x. Substituindo:
x (x)^2x^2 - x^2 = x^30
Aqui, a expressão fica indefinida, pois estamos dividindo por zero. Isso sugere que o limite pode não existir ou pode depender de como nos aproximamos do ponto.

Passo 6

Vamos tentar um caminho diferente, como y = kx, onde k é uma constante. Substituindo:
x (k x)^2x^2 - (k x)^2 = x cdot k^2 x^2x^2 - k^2 x^2 = k^2 x^3x^2(1 - k^2) = k^2 x1 - k^2
Agora, ao levar x para 0:
limx to 0 k^2 x1 - k^2 = 0
Então, para qualquer k neq pm1, o limite é 0.

Passo 7

Porém, quando k = pm1, ou seja, y = pm x, já vimos que a função fica indefinida, indicando que ao se aproximar pelo caminho y = x, o comportamento da função é diferente e não se aproxima de 0 de forma consistente.

Passo 8

Isso significa que o limite depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de (0,0). Como obtenhamos resultados diferentes ou indeterminações dependendo do caminho, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite lim substackx 0 y 0 x y^2x^2-y^2 não existe.

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