Determine os seguintes limites:
(w) lim x 0(sen(2 x)x)^1+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o limite de quando se aproxima de 0. Vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro do parênteses: . Sabemos que , onde limx 0 sen(2x)x = 2 é uma constante. Neste caso, , então:

Passo 3

Agora, temos que a expressão completa é . Sabemos que:
limx 0 a^b(x) = a^limx 0 b(x)
Desde que limx 0 (1 + x^2) = 1 + 0 = 1 seja uma constante positiva. Aqui, e . Vamos calcular o limite de quando tende a 0:

Passo 4

Agora, substituímos esses limites na expressão original:

Resposta

O limite é igual a 2.

Exercícios relacionados

Determine os seguintes limites:
® lim x +infty sen(3 x)5 x.
Determine lim (x^22-1x), quando:
(e) x -1.
Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
32. lim substackx 0 y 0 x y^2x^2-y^2
Utilizando o Teorema 3, verifique que as funções abaixo são diferenciáveis.
f(x, y) = { (x * y^3) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }