Determine os seguintes limites:
(w) lim x 0(sen(2 x)x)^1+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o limite de quando se aproxima de 0. Vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro do parênteses: . Sabemos que , onde limx 0 sen(2x)x = 2 é uma constante. Neste caso, , então:

Passo 3

Agora, temos que a expressão completa é . Sabemos que:
limx 0 a^b(x) = a^limx 0 b(x)
Desde que limx 0 (1 + x^2) = 1 + 0 = 1 seja uma constante positiva. Aqui, e . Vamos calcular o limite de quando tende a 0:

Passo 4

Agora, substituímos esses limites na expressão original:

Resposta

O limite é igual a 2.

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