Sejam
e
matrizes quadradas tais que
, prove que
c*)
.
c*)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas
e
que comutam, ou seja,
. A questão quer que a gente prove que
pode ser escrito como
multiplicado por uma soma envolvendo potências de
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de matrizes que comutam e entender como expandir expressões com potências de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a diferença
. Queremos fatorar isso de uma maneira que envolva
. Pense nisso como tentar fatorar uma diferença de potências, algo semelhante ao que fazemos com números, mas aqui estamos lidando com matrizes.
Passo 3
Vamos começar escrevendo
e
de forma que possamos relacioná-los com
. Sabemos que
e
. Mas queremos expressar tudo em termos de
e
multiplicados juntos.
Passo 4
Como
e
comutam (
), podemos reorganizar os termos sem problemas. Isso é importante porque nos permite multiplicar as matrizes em qualquer ordem, facilitando a fatoração.
Passo 5
Vamos tentar expressar
como
vezes algo. Suponha que seja
, onde
é uma soma que envolve potências de
e
. Nosso objetivo é descobrir qual é
.
Passo 6
Multiplicando
por uma soma
, vamos expandir essa expressão:
Passo 7
Simplificando cada termo, temos:
Como
, os termos intermediários se cancelam, restando apenas
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.