Sejam A e B matrizes quadradas tais que A B=B A, prove que
c*) A^n-B^n=(A-B)(A^n-1+A^n-2 B+A^n-3 B^2+cdots+A B^n-2+B^n-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas e que comutam, ou seja, . A questão quer que a gente prove que pode ser escrito como multiplicado por uma soma envolvendo potências de e . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de matrizes que comutam e entender como expandir expressões com potências de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a diferença . Queremos fatorar isso de uma maneira que envolva . Pense nisso como tentar fatorar uma diferença de potências, algo semelhante ao que fazemos com números, mas aqui estamos lidando com matrizes.

Passo 3

Vamos começar escrevendo e de forma que possamos relacioná-los com . Sabemos que e . Mas queremos expressar tudo em termos de e multiplicados juntos.

Passo 4

Como e comutam ( ), podemos reorganizar os termos sem problemas. Isso é importante porque nos permite multiplicar as matrizes em qualquer ordem, facilitando a fatoração.

Passo 5

Vamos tentar expressar como vezes algo. Suponha que seja , onde é uma soma que envolve potências de e . Nosso objetivo é descobrir qual é .

Passo 6

Multiplicando (A - B)(A^n-1 + A^n-2B + cdots + B^n-1) = A cdot A^n-1 + A cdot A^n-2B + cdots + A cdot B^n-1 - B cdot A^n-1 - B cdot A^n-2B - cdots - B cdot B^n-1 por uma soma , vamos expandir essa expressão:

Passo 7

Simplificando cada termo, temos:
A^n + A^n-1B + cdots + AB^n-1 - B A^n-1 - B A^n-2B - cdots - B^n
Como , os termos intermediários se cancelam, restando apenas .

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados