Sejam e matrizes quadradas tais que , prove que
c*) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas e que comutam, ou seja, . A questão quer que a gente prove que pode ser escrito como multiplicado por uma soma envolvendo potências de e . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de matrizes que comutam e entender como expandir expressões com potências de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a diferença . Queremos fatorar isso de uma maneira que envolva . Pense nisso como tentar fatorar uma diferença de potências, algo semelhante ao que fazemos com números, mas aqui estamos lidando com matrizes.
Passo 3
Vamos começar escrevendo e de forma que possamos relacioná-los com . Sabemos que e . Mas queremos expressar tudo em termos de e multiplicados juntos.
Passo 4
Como e comutam (), podemos reorganizar os termos sem problemas. Isso é importante porque nos permite multiplicar as matrizes em qualquer ordem, facilitando a fatoração.
Passo 5
Vamos tentar expressar como vezes algo. Suponha que seja , onde é uma soma que envolve potências de e . Nosso objetivo é descobrir qual é .
Passo 6
Multiplicando por uma soma , vamos expandir essa expressão:
Passo 7
Simplificando cada termo, temos:
Como , os termos intermediários se cancelam, restando apenas .