Mostre que a transformação linear definida por
é invertível e determine sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa transformação é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matrizes de transformações lineares, determinantes e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor de entrada, dá o vetor transformado. No caso, temos:
Isso corresponde à matriz:

Passo 3

Agora, para verificar se a transformação é invertível, precisamos ver se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Para calcular esse determinante, usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos fazer pela expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Então:
Como o determinante é , que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, a transformação é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar sua inversa . Para uma matriz , podemos usar a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante.
Primeiro, calculamos a matriz de cofatores de :
Calculando cada menor:
Então, a matriz de cofatores é:
A adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a inversa de é:

[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot Adj(A) = \frac{1}{-3} \cdot


]

Resposta

A inversa da transformação linear é dada por:

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é invertível e determine sua inversa.
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(i)
(ii)
(iii)
Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Seja um -espaços vetorial e duas transformações lineares invertíveis sobre . Prove que é invertível e