Mostre que a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y)
é invertível e determine sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa transformação é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matrizes de transformações lineares, determinantes e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(x, y, z) = x - 2y z x + y como uma matriz. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor de entrada, dá o vetor transformado. No caso, temos:
A = 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0
Isso corresponde à matriz:

Passo 3

Agora, para verificar se a transformação det(A) = 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 é invertível, precisamos ver se a matriz det(A) = 1 cdot 0 & 1 1 & 0 - (-2) cdot 0 & 1 1 & 0 + 0 cdot 0 & 0 1 & 1 é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) - (1)(1) = -1 :
det(A) = 1 cdot (-1) - (-2) cdot (-1) + 0 = -1 - 2 + 0 = -3
Para calcular esse determinante, usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos fazer pela expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Então:
Como o determinante é , que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, a transformação é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que Cofatores de A = 0 & 1 1 & 0 & - 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 - -2 & 0 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & - 1 & -2 1 & 1 -2 & 0 0 & 1 & - 1 & 0 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 é invertível, vamos encontrar sua inversa C11 &= 0 & 1 1 & 0 = -1 C12 &= - 0 & 1 1 & 0 = 1 C13 &= 0 & 0 1 & 1 = 0 C21 &= - -2 & 0 1 & 0 = -((-2)(0) - (0)(1)) = 0 C22 &= 1 & 0 1 & 0 = 0 C23 &= - 1 & -2 1 & 1 = -((1)(1) - (-2)(1)) = -(1 + 2) = -3 C31 &= -2 & 0 0 & 1 = (-2)(1) - (0)(0) = -2 C32 &= - 1 & 0 0 & 1 = -(1) = -1 C33 &= 1 & -2 0 & 0 = 0 . Para uma matriz Cof(A) = -1 & 1 & 0 0 & 0 & -3 -2 & -1 & 0 , podemos usar a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante.
Primeiro, calculamos a matriz de cofatores de Adj(A) = -1 & 0 & -2 1 & 0 & -1 0 & -3 & 0 :
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-3 cdot -1 & 0 & -2 1 & 0 & -1 0 & -3 & 0 = 13 & 0 & 23 -13 & 0 & 13 0 & 1 & 0
Calculando cada menor:
Então, a matriz de cofatores é:
A adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a inversa de é:

[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot Adj(A) = \frac{1}{-3} \cdot


]

Resposta

A inversa da transformação linear T^-1(a, b, c) = ( 13a + 23c, -13a + 13c, b ) é dada por:

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