Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa transformação é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matrizes de transformações lineares, determinantes e inversão de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor de entrada, dá o vetor transformado. No caso, temos:
Isso corresponde à matriz:
Passo 3
Agora, para verificar se a transformação é invertível, precisamos ver se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Para calcular esse determinante, usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos fazer pela expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Então:
Como o determinante é , que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, a transformação é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar sua inversa . Para uma matriz , podemos usar a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante.
Primeiro, calculamos a matriz de cofatores de :
Calculando cada menor:
Então, a matriz de cofatores é:
A adjunta de é a transposta da matriz de cofatores: