Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é mostrar que essa transformação é invertível, ou seja, que existe uma transformação que desfaz o que faz. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, invertibilidade e como encontrar a transformação inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é invertível. Uma transformação linear é invertível se ela for bijetora, ou seja, injetora (não mapeia dois vetores diferentes para o mesmo lugar) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada). Uma forma simples de verificar isso é calcular o determinante da matriz associada a . Se o determinante for diferente de zero, é invertível.
A matriz de é:
Agora, calculamos o determinante de :
Como , a transformação é invertível.
Passo 3
Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar a transformação inversa . Para isso, podemos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2x2:
Onde . Aplicando isso à nossa matriz :
Portanto, a transformação inversa é dada por:
Resposta
A transformação linear é invertível e sua inversa é dada por: