Mostre que a transformação linear T: R^2 R^2 definida por
T(x, y)=(x+y, x)
é invertível e determine sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é mostrar que essa transformação é invertível, ou seja, que existe uma transformação que desfaz o que faz. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, invertibilidade e como encontrar a transformação inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se A = 1 & 1 1 & 0 é invertível. Uma transformação linear é invertível se ela for bijetora, ou seja, injetora (não mapeia dois vetores diferentes para o mesmo lugar) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada). Uma forma simples de verificar isso é calcular o determinante da matriz associada a det(A) = (1)(0) - (1)(1) = 0 - 1 = -1 . Se o determinante for diferente de zero, é invertível.
A matriz de é:
Agora, calculamos o determinante de :
Como , a transformação é invertível.

Passo 3

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a é invertível, vamos encontrar a transformação inversa a & b c & d . Para isso, podemos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2x2:
A^-1 = 1-1 0 & -1 -1 & 1 = 0 & 1 1 & -1
Onde T^-1(u, v) = (0 cdot u + 1 cdot v, 1 cdot u - 1 cdot v) = (v, u - v) . Aplicando isso à nossa matriz :
Portanto, a transformação inversa é dada por:

Resposta

A transformação linear T^-1(u, v) = (v, u - v) é invertível e sua inversa é dada por:

Exercícios relacionados