Mostre que a transformação linear
definida por
é invertível e determine sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é mostrar que essa transformação é invertível, ou seja, que existe uma transformação que desfaz o que
faz. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, invertibilidade e como encontrar a transformação inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é invertível. Uma transformação linear é invertível se ela for bijetora, ou seja, injetora (não mapeia dois vetores diferentes para o mesmo lugar) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada). Uma forma simples de verificar isso é calcular o determinante da matriz associada a
. Se o determinante for diferente de zero,
é invertível.
A matriz de
é:
Agora, calculamos o determinante de
:
Como
, a transformação
é invertível.
Passo 3
Agora que sabemos que
é invertível, vamos encontrar a transformação inversa
. Para isso, podemos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2x2:
Onde
. Aplicando isso à nossa matriz
:
Portanto, a transformação inversa
é dada por:
Resposta
A transformação linear
é invertível e sua inversa é dada por: