Mostre que a transformação linear definida por
é invertível e determine sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é mostrar que essa transformação é invertível, ou seja, que existe uma transformação que desfaz o que faz. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, invertibilidade e como encontrar a transformação inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é invertível. Uma transformação linear é invertível se ela for bijetora, ou seja, injetora (não mapeia dois vetores diferentes para o mesmo lugar) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada). Uma forma simples de verificar isso é calcular o determinante da matriz associada a . Se o determinante for diferente de zero, é invertível.
A matriz de é:
Agora, calculamos o determinante de :
Como , a transformação é invertível.

Passo 3

Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar a transformação inversa . Para isso, podemos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2x2:
Onde . Aplicando isso à nossa matriz :
Portanto, a transformação inversa é dada por:

Resposta

A transformação linear é invertível e sua inversa é dada por:

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Determine quais as seguintes matrizes são unitárias.
(i)
(ii)
(iii)
Num dado dia, cada aluno está doente ou saudável. Dos alunos que estão saudáveis hoje, estarão saudáveis amanhã. Dos alunos que estão doentes hoje, estarão doentes amanhã.
(a) Qual é a matriz de transição da Cadeia de Markov representada por esta situação?
Mostre que a transformação linear definida por
é invertível e determine sua inversa.
Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.