Determine os seguintes números complexos: 10-30^circ+(3-j 4)(2+j 4) cdot(3-j 5)

Passo 1

Vamos lá! Temos que calcular a expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como forma retangular e polar, além de operações básicas como adição, multiplicação e divisão de complexos.

Passo 2

Primeiro, precisamos somar com . Mas esses números estão em formatos diferentes: um em polar e outro em retangular. Vamos converter para a forma retangular para facilitar a soma.

Passo 3

A forma retangular de um número complexo expressa em polar 10cos(-30^circ) + j10sin(-30^circ) = 10 times raiz32 - j10 times 12 = 5raiz3 - j5 é . Então, para :

Passo 4

Agora, somamos esse resultado com (5raiz3 - j5) + (3 - j4) = 5raiz3 + 3 - j5 - j4 = 5raiz3 + 3 - j9 :
Então, o numerador fica .

Passo 5

Vamos agora calcular o denominador, que é o produto de (2 + j4)(3 - j5) = 2 times 3 + 2 times (-j5) + j4 times 3 + j4 times (-j5) e = 6 - j10 + j12 - j^2 20 . Para multiplicar dois números complexos, usamos a distributiva (FOIL):
6 - j10 + j12 + 20 = 26 + j2
Lembrando que , então:
Portanto, o denominador é .

Passo 6

Agora, temos que dividir o numerador pelo denominador:
5raiz3 + 3 - j926 + j2
Para simplificar essa divisão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é (5raiz3 + 3 - j9)(26 - j2)(26 + j2)(26 - j2) :

Passo 7

Calculamos o denominador primeiro:
(26 + j2)(26 - j2) = 26^2 - (j2)^2 = 676 - (-4) = 680

Passo 8

Agora, multiplicamos o numerador:
(5raiz3 + 3 - j9)(26 - j2) = 5raiz3 times 26 + 5raiz3 times (-j2) + 3 times 26 + 3 times (-j2) - j9 times 26 - j9 times (-j2)
= 130raiz3 - j10raiz3 + 78 - j6 - j234 + j18
Simplificando:
130raiz3 + 78 - j10raiz3 - j6 - j234 + j18 = 130raiz3 + 78 - j10raiz3 - j222

Passo 9

Agora, juntamos o numerador simplificado e dividimos pelo denominador:
130raiz3 + 78 - j10raiz3 - j222680
Podemos separar em partes reais e imaginárias:
130raiz3 + 78680 + j(-10raiz3 - 222680)
Simplificando cada parte:
Parte real = 130raiz3 + 78680
Parte imaginária = -10raiz3 - 222680 á

Resposta

A expressão simplificada é:
130raiz3 + 78680 - j(10raiz3 + 222680)
Ou, aproximando os valores:
approx 0,224 + j(-0,327)

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