Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(j) Se
é par, então
é ímpar. [Considere o universo
]
(j) Se
Passo 1
Vamos analisar a proposição: “Se
é par, então
é ímpar.” Estamos trabalhando com números reais (
). Para resolver isso, precisamos entender o que significa um número ser par ou ímpar dentro desse universo e verificar se a afirmação sempre é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número par. Um número inteiro é par se pode ser dividido por 2 sem deixar resto, ou seja, existe um inteiro
tal que
. Por outro lado, um número é ímpar se, após a divisão por 2, resta 1, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Se
for par, podemos substituir
por
:
Isso mostra que
é da forma
, onde
, indicando que
é ímpar.
Passo 4
Entretanto, o universo considerado é
, que inclui todos os números reais, não apenas os inteiros. Nos números reais, definir um número como par ou ímpar não é convencional, já que essas definições se aplicam especificamente aos inteiros. Portanto, a proposição assume que
é um inteiro dentro de
.
Passo 5
Mesmo considerando que
seja um inteiro, a proposição “Se
é par, então
é ímpar” é verdadeira, pois
sempre resulta em um número ímpar quando
é par.
Resposta
Verdadeira.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(i) Se não é par, então
é ímpar. [Considere o universo
]
(i) Se
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(h) 7 não é ímpar e 8 é par.
(h) 7 não é ímpar e 8 é par.
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(k) Se 2 é um número par, então 3 é um número ímpar.
(k) Se 2 é um número par, então 3 é um número ímpar.
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(m) Se 3 não é par, então 3 não é ímpar.
(m) Se 3 não é par, então 3 não é ímpar.