Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas: Para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa questão que pede para determinar se a proposição "Para todo
" é verdadeira ou falsa. O conteúdo que vamos usar aqui envolve inequações e propriedades das funções quadráticas. Vamos precisar resolver a desigualdade
para ver para quais valores de
isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a desigualdade para facilitar a resolução:
Podemos subtrair
de ambos os lados da inequação:
Isso nos leva a:
Aqui, estamos fatorando a expressão quadrática para encontrar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores de
que fazem com que
. São eles:
Esses pontos dividem a reta dos números reais em três intervalos:
,
e
. Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação
é verdadeira.
Passo 4
-
Para
: - Escolha um número, por exemplo,
: Não satisfaz a inequação.
- Escolha um número, por exemplo,
-
Para
: - Escolha um número, por exemplo,
: Satisfaz a inequação.
- Escolha um número, por exemplo,
-
Para
: - Escolha um número, por exemplo,
: Não satisfaz a inequação.
- Escolha um número, por exemplo,
Passo 5
Concluímos que a inequação
é verdadeira somente para valores de
no intervalo
. Ou seja, não é verdadeira para todos os números reais.
Resposta
Falsa.