Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas: Para todo x em R, x^2 < x.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa questão que pede para determinar se a proposição "Para todo " é verdadeira ou falsa. O conteúdo que vamos usar aqui envolve inequações e propriedades das funções quadráticas. Vamos precisar resolver a desigualdade para ver para quais valores de isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a desigualdade para facilitar a resolução:
Podemos subtrair de ambos os lados da inequação:
Isso nos leva a:
Aqui, estamos fatorando a expressão quadrática para encontrar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de que fazem com que . São eles:
Esses pontos dividem a reta dos números reais em três intervalos: , e . Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira.

Passo 4

  • Para :
    • Escolha um número, por exemplo, : Não satisfaz a inequação.
  • Para :
    • Escolha um número, por exemplo, : Satisfaz a inequação.
  • Para :
    • Escolha um número, por exemplo, : Não satisfaz a inequação.

Passo 5

Concluímos que a inequação é verdadeira somente para valores de no intervalo . Ou seja, não é verdadeira para todos os números reais.

Resposta

Falsa.

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