Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(a) Para todo .
(b) Todas as letras da palavra © Para todo .
(d) Para todos pares, temos que é par.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde precisamos dizer se algumas afirmações são verdadeiras ou falsas. As afirmações envolvem conceitos de números reais, letras de uma palavra, propriedades de potências e números naturais pares. Vamos precisar usar um pouco de álgebra, lógica e conhecimento básico sobre paridade para resolver tudo isso.

Passo 2

Vamos começar pela primeira afirmação:
(a) Para todo .
Aqui, precisamos verificar se todo número real somado a 1 é maior que 2. Para isso, podemos resolver a inequação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso significa que para , a inequação é verdadeira. Mas o enunciado diz "para todo ", ou seja, para todos os números reais. Porém, se escolhermos , por exemplo:
Então, a afirmação não é verdadeira para todos os .

Passo 3

Passando para a segunda afirmação:
(b) Todas as letras da palavra
Parece que o enunciado está incompleto aqui. Normalmente, haveria uma palavra específica para analisar. Sem a palavra completa, não dá para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se você puder fornecer a palavra completa, a gente resolve essa parte!

Passo 4

Vamos para a terceira afirmação:
© Para todo .
Queremos saber se todo número real ao quadrado é menor que ele mesmo. Vamos analisar a inequação:
Podemos rearranjar:
Fatorando:
Essa inequação é verdadeira quando um dos fatores é positivo e o outro é negativo. Isso acontece quando . Ou seja, apenas para valores de entre 0 e 1, a inequação é verdadeira. Portanto, a afirmação não é verdadeira para todo .

Passo 5

Finalmente, a quarta afirmação:
(d) Para todos pares, temos que é par.
Aqui, e são números naturais pares. Sabemos que a soma de dois números pares sempre resulta em um número par. Isso porque:
Se e , onde , então:
Como é um inteiro, é divisível por 2, ou seja, é par. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa. Nem todo número real satisfaz .
(b) Não foi possível determinar por falta de informações.
© Falsa. A inequação só vale para .
(d) Verdadeira. A soma de dois números naturais pares é sempre par.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
Resolva os problemas de valores iniciais utilizando a transformada de Laplace. (vale 1,2 pontos).
e , onde é uma constante e .
O que as seguintes proposições significam? Elas são verdadeiras ou falsas? O universo de discurso em todos os casos é o conjunto dos números naturais.
(a) .
(b) .
© .
Esboce as cruvas de nível das funções:
, nos níveis e