O que as seguintes proposições significam? Elas são verdadeiras ou falsas? O universo de discurso em todos os casos é o conjunto dos números naturais.
(a) forall x existe y (2 x - y = 0).
(b) ∃y ∀x(2x - y = 0).
© ∃y ∃z (y + z = 100).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre proposições lógicas envolvendo números naturais. Precisamos entender o que cada proposição está dizendo e decidir se é verdadeira ou falsa. Vamos precisar usar conceitos de lógica matemática, como quantificadores universais ( ) e existenciais ( ).

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
Essa proposição significa: “Para todo número natural x, existe um número natural y tal que .” Ou seja, para cada x que você escolher, tem que haver um y correspondente que satisfaz essa equação.
Resolvendo a equação , temos que . Como estamos trabalhando com números naturais, para qualquer x natural, também é um número natural. Portanto, sempre podemos encontrar esse y.
Logo, a proposição (a) é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): .
Essa proposição quer dizer: “Existe um número natural y tal que, para todo número natural x, a equação é verdadeira.” Ou seja, há um único y que funciona para todos os valores de x.
Resolvendo a equação para y, temos . Mas aqui está o problema: y depende de x. Não existe um único y que seja igual a para todos os x simultaneamente. Por exemplo, se x = 1, então , mas se x = 2, , o que não é o mesmo y.
Portanto, não há um único número natural y que funcione para todo x, o que torna a proposição (b) falsa.

Passo 4

Por fim, vamos para a parte ©: .
Essa proposição significa: “Existe um número natural y e existe um número natural z tais que .” Ou seja, estamos procurando por dois números naturais que somados dão 100.
Claro que podemos encontrar vários pares que satisfazem isso, como e , ou e , e assim por diante. Basta escolher dois números naturais que somem 100.
Então, a proposição © é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
© Verdadeira.

Exercícios relacionados