O que as seguintes proposições significam? Elas são verdadeiras ou falsas? O universo de discurso em todos os casos é o conjunto dos números naturais.
(a) .
(b) .
© .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre proposições lógicas envolvendo números naturais. Precisamos entender o que cada proposição está dizendo e decidir se é verdadeira ou falsa. Vamos precisar usar conceitos de lógica matemática, como quantificadores universais ( ) e existenciais ( ).

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
Essa proposição significa: “Para todo número natural , existe um número natural tal que .” Ou seja, para cada que você escolher, tem que haver um correspondente que satisfaz essa equação.
Resolvendo a equação , temos que . Como estamos trabalhando com números naturais, para qualquer natural, também é um número natural. Portanto, sempre podemos encontrar esse .
Logo, a proposição (a) é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): .
Essa proposição quer dizer: “Existe um número natural tal que, para todo número natural , a equação é verdadeira.” Ou seja, há um único que funciona para todos os valores de .
Resolvendo a equação para , temos . Mas aqui está o problema: depende de . Não existe um único que seja igual a para todos os simultaneamente. Por exemplo, se , então , mas se , , o que não é o mesmo .
Portanto, não há um único número natural que funcione para todo , o que torna a proposição (b) falsa.

Passo 4

Por fim, vamos para a parte ©: .
Essa proposição significa: “Existe um número natural e existe um número natural tais que .” Ou seja, estamos procurando por dois números naturais que somados dão 100.
Claro que podemos encontrar vários pares que satisfazem isso, como e , ou e , e assim por diante. Basta escolher dois números naturais que somem 100.
Então, a proposição © é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
© Verdadeira.

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(a) Para todo .
(b) Todas as letras da palavra © Para todo .
(d) Para todos pares, temos que é par.
Calcule os seguintes limites:
Esboce as cruvas de nível das funções:
, nos níveis e
Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. são constantes). Dica: use a propriedade da linearidade para encontrar a solução de algumas das funções dadas. (vale 0,8 pontos).