O que as seguintes proposições significam? Elas são verdadeiras ou falsas? O universo de discurso em todos os casos é o conjunto dos números naturais.
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre proposições lógicas envolvendo números naturais. Precisamos entender o que cada proposição está dizendo e decidir se é verdadeira ou falsa. Vamos precisar usar conceitos de lógica matemática, como quantificadores universais (
) e existenciais (
).
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
.
Essa proposição significa: “Para todo número natural
, existe um número natural
tal que
.” Ou seja, para cada
que você escolher, tem que haver um
correspondente que satisfaz essa equação.
Resolvendo a equação
, temos que
. Como estamos trabalhando com números naturais, para qualquer
natural,
também é um número natural. Portanto, sempre podemos encontrar esse
.
Logo, a proposição (a) é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
.
Essa proposição quer dizer: “Existe um número natural
tal que, para todo número natural
, a equação
é verdadeira.” Ou seja, há um único
que funciona para todos os valores de
.
Resolvendo a equação
para
, temos
. Mas aqui está o problema:
depende de
. Não existe um único
que seja igual a
para todos os
simultaneamente. Por exemplo, se
, então
, mas se
,
, o que não é o mesmo
.
Portanto, não há um único número natural
que funcione para todo
, o que torna a proposição (b) falsa.
Passo 4
Por fim, vamos para a parte ©:
.
Essa proposição significa: “Existe um número natural
e existe um número natural
tais que
.” Ou seja, estamos procurando por dois números naturais que somados dão 100.
Claro que podemos encontrar vários pares que satisfazem isso, como
e
, ou
e
, e assim por diante. Basta escolher dois números naturais que somem 100.
Então, a proposição © é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
© Verdadeira.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(a) Para todo .
(b) Todas as letras da palavra © Para todo .
(d) Para todos pares, temos que
é par.
(a) Para todo
(b) Todas as letras da palavra © Para todo
(d) Para todos
Calcule os seguintes limites:
Esboce as cruvas de nível das funções:
, nos níveis
e
Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções.
são constantes). Dica: use a propriedade da linearidade para encontrar a solução de algumas das funções dadas. (vale 0,8 pontos).