Esboce as cruvas de nível das funções:
, nos níveis
e
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente esboçar as curvas de nível da função
nos níveis
e
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como elas se comportam no plano. Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função
para um valor fixo
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Em outras palavras, é o lugar geométrico onde a função assume um valor constante
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar as curvas de nível para
e
.
Vamos começar com
:
Para facilitar, podemos isolar
:
Essa equação representa uma hipérbole. Então, a curva de nível para
é a hipérbole definida por
.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Isolando
:
Essa também é uma hipérbole, mas está “mais afastada” do centro comparada à anterior. Assim, a curva de nível para
é a hipérbole definida por
.
Passo 5
Para esboçar as curvas de nível, vamos plotar as duas hipérboles que encontramos:
-
Para
: -
Para
:
Ambas as curvas são hipérboles que se aproximam dos eixos coordenados (ambos os assíntotas
e
), mas nunca os tocam. A hipérbole de
está mais “espalhada” do que a de
, já que para cada valor de
,
será maior.
Resposta
As curvas de nível da função
nos níveis
e
são hipérboles definidas por
e
, respectivamente.
Exercícios relacionados
O que as seguintes proposições significam? Elas são verdadeiras ou falsas? O universo de discurso em todos os casos é o conjunto dos números naturais.
(a) .
(b) .
© .
(a)
(b)
©
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(a) Para todo .
(b) Todas as letras da palavra © Para todo .
(d) Para todos pares, temos que
é par.
(a) Para todo
(b) Todas as letras da palavra © Para todo
(d) Para todos
Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções.
são constantes). Dica: use a propriedade da linearidade para encontrar a solução de algumas das funções dadas. (vale 0,8 pontos).
Negue as seguintes proposições:
(a) e 2 é par.
(b) Não é verdade que (3 é par ou que 5 é impar).
© 2 é um número par e é um número ímpar.
(d) 2 é número par e não é verdade que 3 é um número ímpar.
(e) Todo elemento do conjunto é elemento do conjunto
.
(a)
(b) Não é verdade que (3 é par ou que 5 é impar).
© 2 é um número par e
(d) 2 é número par e não é verdade que 3 é um número ímpar.
(e) Todo elemento do conjunto