Esboce as cruvas de nível das funções:
f(x, y) = x * y, nos níveis c = 2 e c = 4

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente esboçar as curvas de nível da função nos níveis e . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como elas se comportam no plano. Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função para um valor fixo é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . Em outras palavras, é o lugar geométrico onde a função assume um valor constante .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar as curvas de nível para e .
Vamos começar com :
Para facilitar, podemos isolar :
Essa equação representa uma hipérbole. Então, a curva de nível para é a hipérbole definida por .

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para :
Isolando :
Essa também é uma hipérbole, mas está “mais afastada” do centro comparada à anterior. Assim, a curva de nível para é a hipérbole definida por .

Passo 5

Para esboçar as curvas de nível, vamos plotar as duas hipérboles que encontramos:
  1. Para :
  2. Para :
Ambas as curvas são hipérboles que se aproximam dos eixos coordenados (ambos os assíntotas e ), mas nunca os tocam. A hipérbole de está mais “espalhada” do que a de , já que para cada valor de , será maior.

Resposta

As curvas de nível da função nos níveis e são hipérboles definidas por e , respectivamente.

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