Esboce as cruvas de nível das funções:
, nos níveis
e
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente esboçar as curvas de nível da função
nos níveis
e
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como elas se comportam no plano. Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função
para um valor fixo
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Em outras palavras, é o lugar geométrico onde a função assume um valor constante
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar as curvas de nível para
e
.
Vamos começar com
:
Para facilitar, podemos isolar
:
Essa equação representa uma hipérbole. Então, a curva de nível para
é a hipérbole definida por
.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Isolando
:
Essa também é uma hipérbole, mas está “mais afastada” do centro comparada à anterior. Assim, a curva de nível para
é a hipérbole definida por
.
Passo 5
Para esboçar as curvas de nível, vamos plotar as duas hipérboles que encontramos:
-
Para
: -
Para
:
Ambas as curvas são hipérboles que se aproximam dos eixos coordenados (ambos os assíntotas
e
), mas nunca os tocam. A hipérbole de
está mais “espalhada” do que a de
, já que para cada valor de
,
será maior.
Resposta
As curvas de nível da função
nos níveis
e
são hipérboles definidas por
e
, respectivamente.