Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(b) limitada e não-monótona;
(b) limitada e não-monótona;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um exemplo de uma sequência
, que não seja constante, e que seja limitada e não monótona. Vamos utilizar conceitos de sequências limitadas e sequências não monótonas para resolver isso.
Passo 2
Uma sequência limitada é aquela que não “cresce” sem limites; ou seja, todos os seus termos estão dentro de algum intervalo finito. Matematicamente, uma sequência
é limitada se existir um número
tal que
para todo
.
Passo 3
Uma sequência não monótona não é estritamente crescente nem estritamente decrescente. Isso significa que os termos da sequência podem aumentar e diminuir em diferentes etapas.
Passo 4
Para criar um exemplo que satisfaça ambos os critérios, vamos pensar em uma sequência que oscila entre dois valores, ou que não siga uma tendência única de aumento ou diminuição, mas que fique sempre dentro de certos limites.
Passo 5
Um exemplo simples é a sequência alternada
definida por:
Vamos analisar essa sequência:
- Para
par, . - Para
ímpar, .
Passo 6
Essa sequência não é constante porque seus termos mudam entre 1 e -1. Além disso, ela é limitada, já que todos os termos estão entre -1 e 1. Também é não monótona, pois os termos não seguem uma única direção de aumento ou diminuição.
Resposta
Um exemplo de sequência limitada e não monótona é
, onde
alterna entre 1 e -1 para cada valor de
.
Exercícios relacionados
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
© (i)
, (ii)
©
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e)
e)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
© (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
©
Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
© não limitada e não-monótona;
© não limitada e não-monótona;