Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem. Caso convirjam, encontre seu limite.
n)

Passo 1

Então, a gente tem a sequência . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela chega a um valor específico quando cresce bastante) ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções logarítmicas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento do numerador e do denominador separadamente conforme aumenta:
  • Numerador ( ): O logaritmo natural cresce sem limite quando aumenta, mas faz isso de forma bem lenta.
  • Denominador ( ): A função exponencial cresce super rápido conforme aumenta.
Então, temos uma divisão onde o numerador está aumentando, mas o denominador está aumentando muito mais rápido.

Passo 3

Para encontrar o limite da sequência quando tende ao infinito, podemos transformar isso em um limite contínuo usando uma variável real :
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, formando uma indeterminação do tipo . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver esse tipo de limite.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos e tanto quanto tendem ao infinito, então esse limite é igual a:
Aplicando isso aqui:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Então, o limite fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar :
  • Conforme cresce, cresce super rápido.
  • Multiplicando por ainda resulta em um crescimento muito rápido.
Então, tende ao infinito, e o inverso disso ( ) tende a zero.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
c)
Expresse as seguintes funções na forma .
©
Plote a curva em um visor retangular que mostre todos os aspectos importantes da curva.
24.
Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(b)