Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem. Caso convirjam, encontre seu limite.
n)
n)
Passo 1
Então, a gente tem a sequência
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela chega a um valor específico quando
cresce bastante) ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções logarítmicas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento do numerador e do denominador separadamente conforme
aumenta:
- Numerador (
): O logaritmo natural cresce sem limite quando aumenta, mas faz isso de forma bem lenta. - Denominador (
): A função exponencial cresce super rápido conforme aumenta.
Então, temos uma divisão onde o numerador está aumentando, mas o denominador está aumentando muito mais rápido.
Passo 3
Para encontrar o limite da sequência quando
tende ao infinito, podemos transformar isso em um limite contínuo usando uma variável real
:
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, formando uma indeterminação do tipo
. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver esse tipo de limite.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos
e tanto
quanto
tendem ao infinito, então esse limite é igual a:
Aplicando isso aqui:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar
:
- Conforme
cresce, cresce super rápido. - Multiplicando
por ainda resulta em um crescimento muito rápido.
Então,
tende ao infinito, e o inverso disso (
) tende a zero.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
c)
c)
Expresse as seguintes funções na forma
.
©
©
Plote a curva em um visor retangular que mostre todos os aspectos importantes da curva.
24.
24.
Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(b)
(b)