Plote a curva em um visor retangular que mostre todos os aspectos importantes da curva.
24. x = t^4 + 4t^3 - 8t^2, y = 2t^2 - t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente plotar uma curva em um sistema de coordenadas retangulares usando as equações paramétricas dadas:
Isso envolve tópicos de geometria analítica e funções paramétricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essas equações paramétricas em informações que nos ajudem a desenhar a curva, como pontos importantes, direções e comportamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas expressam as coordenadas e de pontos na curva em termos de um parâmetro . Isso é útil para descrever movimentos ou caminhos que não são facilmente representados por funções tradicionais.

Passo 3

Vamos determinar os pontos onde a curva cruza os eixos. Para isso:
  • Intercepto com o eixo : ocorre quando .
  • Interceptos com o eixo : ocorrem quando .
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de correspondentes.

Passo 4

Encontrando o intercepto com o eixo :
Quando :
Vamos fatorar:
Isso nos dá ou resolvendo que resulta em:
Agora, calculamos para esses valores de :
Para :
Para e , substituímos na equação de para encontrar os pontos.

Passo 5

Encontrando os interceptos com o eixo :
Quando :
Fatorando:
Assim, ou .
Agora, calculamos para esses valores de :
Para :
Para :

Passo 6

Vamos encontrar os extremos da curva, ou seja, pontos onde a curva atinge valores máximos ou mínimos em e . Para isso, calculamos as derivadas de e em relação a :
Encontramos onde e para identificar possíveis extremos.

Passo 7

Resolvendo :
Substituindo nas equações de e :
Portanto, temos um ponto extremo em .

Passo 8

Analisando o comportamento da curva para valores de indo para e :
  • Para :
    • tende a .
    • também tende a .
  • Para :
    • tende a (já que é positivo).
    • tende a .
Isso indica que a curva se estende para os quadrantes superiores direito e esquerdo conforme aumenta positivamente ou negativamente.

Passo 9

Resumindo os pontos importantes encontrados:
  • Intercepto no ponto .
  • Intercepto no ponto .
  • Ponto extremo em .
  • A curva se estende para nos quadrantes superiores direito e esquerdo.

Resposta

Com base nos cálculos, a curva possui interceptos nos pontos e , um ponto extremo em , e se estende para os quadrantes superiores direito e esquerdo conforme tende a ou . Esses aspectos importantes devem ser destacados ao plotar a curva no sistema de coordenadas retangulares.

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