Plote a curva em um visor retangular que mostre todos os aspectos importantes da curva.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente plotar uma curva em um sistema de coordenadas retangulares usando as equações paramétricas dadas:
Isso envolve tópicos de geometria analítica e funções paramétricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essas equações paramétricas em informações que nos ajudem a desenhar a curva, como pontos importantes, direções e comportamentos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas expressam as coordenadas
e
de pontos na curva em termos de um parâmetro
. Isso é útil para descrever movimentos ou caminhos que não são facilmente representados por funções tradicionais.
Passo 3
Vamos determinar os pontos onde a curva cruza os eixos. Para isso:
- Intercepto com o eixo
: ocorre quando . - Interceptos com o eixo
: ocorrem quando .
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de
correspondentes.
Passo 4
Encontrando o intercepto com o eixo
:
Quando
:
Vamos fatorar:
Isso nos dá
ou resolvendo
que resulta em:
Agora, calculamos
para esses valores de
:
Para
:
Para
e
, substituímos na equação de
para encontrar os pontos.
Passo 5
Encontrando os interceptos com o eixo
:
Quando
:
Fatorando:
Assim,
ou
.
Agora, calculamos
para esses valores de
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos encontrar os extremos da curva, ou seja, pontos onde a curva atinge valores máximos ou mínimos em
e
. Para isso, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Encontramos onde
e
para identificar possíveis extremos.
Passo 7
Resolvendo
:
Substituindo
nas equações de
e
:
Portanto, temos um ponto extremo em
.
Passo 8
Analisando o comportamento da curva para valores de
indo para
e
:
-
Para
: -
tende a . -
também tende a .
-
-
Para
: -
tende a (já que é positivo). -
tende a .
-
Isso indica que a curva se estende para os quadrantes superiores direito e esquerdo conforme
aumenta positivamente ou negativamente.
Passo 9
Resumindo os pontos importantes encontrados:
- Intercepto no ponto
. - Intercepto no ponto
. - Ponto extremo em
. - A curva se estende para
nos quadrantes superiores direito e esquerdo.
Resposta
Com base nos cálculos, a curva possui interceptos nos pontos
e
, um ponto extremo em
, e se estende para os quadrantes superiores direito e esquerdo conforme
tende a
ou
. Esses aspectos importantes devem ser destacados ao plotar a curva no sistema de coordenadas retangulares.