Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
c)
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Passo 1
Então, temos um exercício que pede para determinar se a sequência
é crescente, decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente e também verificar se ela é limitada. Vamos usar conceitos de análise de sequências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser crescente ou decrescente:
- Crescente: Cada termo é maior ou igual ao anterior.
- Decrescente: Cada termo é menor ou igual ao anterior.
- Estritamente crescente: Cada termo é maior que o anterior.
- Estritamente decrescente: Cada termo é menor que o anterior.
Para determinar isso, vamos analisar o comportamento da sequência conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
para entender melhor o comportamento da sequência:
Dividimos o numerador e o denominador por
:
À medida que
cresce,
e
tendem a zero. Portanto, a sequência se aproxima de:
Isso nos dá uma ideia sobre a limitada da sequ��ncia.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, observamos o comportamento dos termos conforme
aumenta.
Calculando alguns termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Vemos que os termos estão aumentando, indicando que a sequência é crescente.
Passo 5
Para confirmar se é estritamente crescente, precisamos verificar se cada termo é realmente maior que o anterior. Observando os cálculos:
Cada termo é maior que o anterior, então a sequência é estritamente crescente.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar se a sequência é limitada. Já vimos que a sequência se aproxima de
. Vamos determinar os limites superior e inferior.
Como
aumenta e se aproxima de
, podemos dizer que:
E como os termos começam em um valor maior que
, mas sabemos que para todo
,
será maior que:
Portanto, a sequência está limitada.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente e está limitada.
Exercícios relacionados
Expresse as seguintes funções na forma
.
©
©
Em cada caso abaixo, determine os cinco primeiros termos da sequência:
© ;
©
Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem. Caso convirjam, encontre seu limite.
n)
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Plote a curva em um visor retangular que mostre todos os aspectos importantes da curva.
24.
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