Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
c)

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para determinar se a sequência é crescente, decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente e também verificar se ela é limitada. Vamos usar conceitos de análise de sequências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser crescente ou decrescente:
  • Crescente: Cada termo é maior ou igual ao anterior.
  • Decrescente: Cada termo é menor ou igual ao anterior.
  • Estritamente crescente: Cada termo é maior que o anterior.
  • Estritamente decrescente: Cada termo é menor que o anterior.
Para determinar isso, vamos analisar o comportamento da sequência conforme aumenta.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento da sequência:
Dividimos o numerador e o denominador por :
À medida que cresce, e tendem a zero. Portanto, a sequência se aproxima de:
Isso nos dá uma ideia sobre a limitada da sequ��ncia.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, observamos o comportamento dos termos conforme aumenta.
Calculando alguns termos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que os termos estão aumentando, indicando que a sequência é crescente.

Passo 5

Para confirmar se é estritamente crescente, precisamos verificar se cada termo é realmente maior que o anterior. Observando os cálculos:
Cada termo é maior que o anterior, então a sequência é estritamente crescente.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar se a sequência é limitada. Já vimos que a sequência se aproxima de . Vamos determinar os limites superior e inferior.
Como aumenta e se aproxima de , podemos dizer que:
E como os termos começam em um valor maior que , mas sabemos que para todo , será maior que:
Portanto, a sequência está limitada.

Resposta

A sequência é estritamente crescente e está limitada.

Exercícios relacionados

Expresse as seguintes funções na forma .
©
Em cada caso abaixo, determine os cinco primeiros termos da sequência:
© ;
Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem. Caso convirjam, encontre seu limite.
n)
Plote a curva em um visor retangular que mostre todos os aspectos importantes da curva.
24.