Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(g) a_n = n^(1/n) Converge, Limite = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre sequências e se elas convergem ou não. A sequência que vamos analisar é . Para saber se ela converge, precisamos descobrir qual é o seu limite quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão . Isso significa a raiz enésima de . À medida que cresce, a raiz enésima de se comporta de uma maneira específica que queremos descobrir.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar uma técnica envolvendo logaritmos. Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da sequência:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz , temos:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que cresce mais lentamente que , então:
Isso significa que:

Passo 5

Finalmente, para encontrar o limite de , usamos a função exponencial:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(e) a_n = n * tan(1/n) Converge, Limite = 1
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
© a_n = sen(3*pi/(n^2 + 1)) / n [Convergente, Limite = 0 ]
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(h) a_n = 2 + (0,86)^n [Converge, Limite 2
Mostre que a soma de duas sequências divergentes pode ser uma sequência convergente.