Determine se as seguintes sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótona.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência
é crescente, decrescente ou não-monótona. Isso envolve entender como os termos da sequência se comportam à medida que
aumenta. Vamos precisar dos conceitos de sequência monótona (crescentes e decrescentes) e analisar os termos individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da sequência
.
-
: Esse termo alterna entre -1 e 1 dependendo se é par ou ímpar. -
: Esse termo diminui conforme aumenta, já que o denominador cresce.
Passo 3
Vamos calcular alguns termos da sequência para observar o comportamento:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Passo 4
Observando os termos calculados:
- De
para : A sequência aumenta de 0 para 1,5. - De
para : A sequência diminui de 1,5 para aproximadamente -0,666. - De
para : Aumenta de -0,666 para 1,25.
Vemos que a sequência alterna entre aumentar e diminuir.
Passo 5
Além disso, o termo
tende a zero conforme
aumenta, mas isso não muda a alternância causada por
. Portanto, a sequência não mantém uma tendência constante de aumento ou diminuição.
Resposta
A sequência
é não-monótona.