Encontre os limites. (Dica: multiplique e divida a expressão pelo (g)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, uma parte importante do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar manipular expressões com raízes e simplificar os termos para identificar o comportamento da função quando se aproxima de infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente para entender melhor. Observamos que temos duas raízes: e . Além disso, temos os termos e . Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Vamos simplificar a primeira raiz . Podemos fatorar dentro da raiz:
Isso nos ajuda a ver o comportamento dominante quando é grande.

Passo 4

Agora, simplificamos a segunda raiz :
Aqui, fatoramos e percebemos que tende a zero quando vai para infinito.

Passo 5

Substituímos as simplificações de volta na expressão original:
Agora, vamos expandir as raízes usando uma aproximação para termos grandes.

Passo 6

Para grandes valores de , sabemos que:
e
Essas aproximações nos ajudam a simplificar ainda mais a expressão.

Passo 7

Substituindo as aproximações na expressão:
Simplificamos cada termo:
Os termos e cancelam.

Passo 8

Restam os termos constantes:
Portanto, o limite é 3.

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótona.
c)
Nas proposições abaixo, verifique através da tabela-verdade se é uma tautologia ou uma contradição ou uma contingência: (d) .
Verifique se a recíproca de cada proposição abaixo é válida. Em caso afirmativo, enuncie essa recíproca de, pelo menos, duas maneiras distintas: © Uma condição suficiente para que uma reta seja perpendicular a um plano é que ela seja perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.
Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: (b) Sejam e números reais. Tem-se .