Encontre os limites. (Dica: multiplique e divida a expressão pelo (g) lim x infty(raizx^4+x^2+raizx^2+5 x-x^2-x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, uma parte importante do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar manipular expressões com raízes e simplificar os termos para identificar o comportamento da função quando se aproxima de infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente para entender melhor. Observamos que temos duas raízes: e . Além disso, temos os termos e . Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Vamos simplificar a primeira raiz raizx^4 + x^2 = raizx^2(x^2 + 1) = xraizx^2 + 1 . Podemos fatorar dentro da raiz:
Isso nos ajuda a ver o comportamento dominante quando é grande.

Passo 4

Agora, simplificamos a segunda raiz raizx^2 + 5x = raizx^2(1 + 5x) = xraiz1 + 5x :
Aqui, fatoramos e percebemos que tende a zero quando vai para infinito.

Passo 5

Substituímos as simplificações de volta na expressão original:
limx infty(xraizx^2 + 1 + xraiz1 + 5x - x^2 - x)
Agora, vamos expandir as raízes usando uma aproximação para termos grandes.

Passo 6

Para grandes valores de raizx^2 + 1 = xraiz1 + 1x^2 approx x(1 + 12x^2) = x + 12x , sabemos que:
raiz1 + 5x approx 1 + 52x
e
Essas aproximações nos ajudam a simplificar ainda mais a expressão.

Passo 7

Substituindo as aproximações na expressão:
x(x + 12x) + x(1 + 52x) - x^2 - x
Simplificamos cada termo:
x^2 + 12 + x + 52 - x^2 - x
Os termos e cancelam.

Passo 8

Restam os termos constantes:
12 + 52 = 62 = 3
Portanto, o limite é 3.

Resposta

O limite é igual a .

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