Encontre os limites. (Dica: multiplique e divida a expressão pelo (g)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, uma parte importante do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar manipular expressões com raízes e simplificar os termos para identificar o comportamento da função quando
se aproxima de infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente para entender melhor. Observamos que temos duas raízes:
e
. Além disso, temos os termos
e
. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 3
Vamos simplificar a primeira raiz
. Podemos fatorar
dentro da raiz:
Isso nos ajuda a ver o comportamento dominante quando
é grande.
Passo 4
Agora, simplificamos a segunda raiz
:
Aqui, fatoramos
e percebemos que
tende a zero quando
vai para infinito.
Passo 5
Substituímos as simplificações de volta na expressão original:
Agora, vamos expandir as raízes usando uma aproximação para termos grandes.
Passo 6
Para grandes valores de
, sabemos que:
e
Essas aproximações nos ajudam a simplificar ainda mais a expressão.
Passo 7
Substituindo as aproximações na expressão:
Simplificamos cada termo:
Os termos
e
cancelam.
Passo 8
Restam os termos constantes:
Portanto, o limite é 3.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótona.
c)
c)
Nas proposições abaixo, verifique através da tabela-verdade se é uma tautologia ou uma contradição ou uma contingência: (d)
.
Verifique se a recíproca de cada proposição abaixo é válida. Em caso afirmativo, enuncie essa recíproca de, pelo menos, duas maneiras distintas: © Uma condição suficiente para que uma reta seja perpendicular a um plano é que ela seja perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.
Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: (b) Sejam
e
números reais. Tem-se
.