Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(f)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem aqui um exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência para resolver isso. Precisamos entender como os termos da série se comportam conforme cresce e aplicar o teste adequado para saber se a soma desses termos chega a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Queremos ver como esse termo se comporta quando tende ao infinito. O que você nota aqui é que temos multiplicando uma exponencial decrescente . A questão é: será que o crescimento de consegue “dominar” a rápida queda de , ou a exponencial diminui tão rápido que o termo geral tende a zero?

Passo 3

Para investigar isso, vamos calcular o limite de quando tende a infinito:
Sabemos que decresce muito rapidamente para zero conforme aumenta. Mesmo multiplicado por , que cresce linearmente, a exponencial decrescente tende a zero mais rápido do que qualquer potência de cresce. Portanto:

Passo 4

O fato de o limite do termo geral ser zero é uma condição necessária para a convergência da série, mas não é suficiente. Precisamos aplicar um teste de convergência. Vamos usar o Teste da Série Geométrica Generalizada ou, mais facilmente, o Teste da Comparação.

Passo 5

Vamos comparar nossa série com uma série conhecida que converge. Observando que é extremamente pequeno para grandes , podemos comparar com a série , que sabemos que é uma série geométrica que converge.
Para , temos:
Como converge, e nossos termos são menores ou iguais aos termos dessa série convergente, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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Calcule e , sabendo que: