Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(f)
(f)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem aqui um exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência para resolver isso. Precisamos entender como os termos da série se comportam conforme
cresce e aplicar o teste adequado para saber se a soma desses termos chega a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Queremos ver como esse termo se comporta quando
tende ao infinito. O que você nota aqui é que temos
multiplicando uma exponencial decrescente
. A questão é: será que o crescimento de
consegue “dominar” a rápida queda de
, ou a exponencial diminui tão rápido que o termo geral tende a zero?
Passo 3
Para investigar isso, vamos calcular o limite de
quando
tende a infinito:
Sabemos que
decresce muito rapidamente para zero conforme
aumenta. Mesmo multiplicado por
, que cresce linearmente, a exponencial decrescente tende a zero mais rápido do que qualquer potência de
cresce. Portanto:
Passo 4
O fato de o limite do termo geral ser zero é uma condição necessária para a convergência da série, mas não é suficiente. Precisamos aplicar um teste de convergência. Vamos usar o Teste da Série Geométrica Generalizada ou, mais facilmente, o Teste da Comparação.
Passo 5
Vamos comparar nossa série com uma série conhecida que converge. Observando que
é extremamente pequeno para grandes
, podemos comparar com a série
, que sabemos que é uma série geométrica que converge.
Para
, temos:
Como
converge, e nossos termos
são menores ou iguais aos termos dessa série convergente, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Sejam
. Calcule:
.
Calcule o módulo do número complexo dado pelas expressões abaixo
Calcule
e
, sabendo que: