Sejam . Calcule: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função e expressa as variáveis em coordenadas esféricas ( ). Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como as variáveis estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos de . Substituindo as expressões de na fórmula de :
Agora, vamos simplificar isso um pouco.

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Como , simplificamos para:
Podemos fatorar :

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Como é constante em relação a , a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é constante em relação a . Derivando e :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Observando a expressão simplificada de , percebemos que já saiu da equação porque . Portanto, não depende mais de .

Resposta

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Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Se então
Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(f)