Sejam
. Calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
e expressa as variáveis
em coordenadas esféricas (
). Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como as variáveis estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos de
. Substituindo as expressões de
na fórmula de
:
Agora, vamos simplificar isso um pouco.
Passo 3
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Como
, simplificamos para:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
. Derivando
e
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Observando a expressão simplificada de
, percebemos que
já saiu da equação porque
. Portanto,
não depende mais de
.
Resposta
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Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Se então
Se
Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(f)
(f)