Sejam w=f(x, y, z)=x^2+y^2+2 z^2, x(rho, alpha, theta)=rho sen alpha cos theta, y(rho, alpha, theta)=rho sen alpha sen theta e z(rho, alpha, theta)=rho cos alpha. Calcule: partial wpartial rho, partial wpartial alpha e partial wpartial theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função e expressa as variáveis em coordenadas esféricas ( ). Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como as variáveis estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função w = (rho sin alpha cos theta)^2 + (rho sin alpha sin theta)^2 + 2 (rho cos alpha)^2 em termos de . Substituindo as expressões de na fórmula de :
Agora, vamos simplificar isso um pouco.

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
  1. w = rho^2 sin^2 alpha (cos^2 theta + sin^2 theta) + 2 rho^2 cos^2 alpha
  2. w = rho^2 sin^2 alpha + 2 rho^2 cos^2 alpha
  3. w = rho^2 (sin^2 alpha + 2 cos^2 alpha)
Somando tudo:
Como , simplificamos para:
Podemos fatorar :

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial rho = partialpartial rho [ rho^2 (sin^2 alpha + 2 cos^2 alpha) ] em relação a partial wpartial rho = 2 rho (sin^2 alpha + 2 cos^2 alpha) :
Como é constante em relação a , a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial alpha = partialpartial alpha [ rho^2 (sin^2 alpha + 2 cos^2 alpha) ] em relação a partial wpartial alpha = rho^2 (2 sin alpha cos alpha - 4 cos alpha sin alpha) :
partial wpartial alpha = rho^2 (-2 sin alpha cos alpha)
Aqui, partial wpartial alpha = -2 rho^2 sin alpha cos alpha é constante em relação a . Derivando e :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial theta = 0 em relação a :
Observando a expressão simplificada de , percebemos que já saiu da equação porque . Portanto, não depende mais de .

Resposta

partial wpartial rho = 2 rho (sin^2 alpha + 2 cos^2 alpha)
partial wpartial alpha = -2 rho^2 sin alpha cos alpha
partial wpartial theta = 0

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